Um sistema de equações consiste em duas ou mais equações em duas, ou mais variáveis, todas as quais compartilham a mesma solução. Um dos métodos utilizados para resolver sistemas de duas equações com duas variáveis é o método de adição. Este método consiste em multiplicar uma das equações por um número, de modo que, somando as equações, eliminemos uma das variáveis.
A seguir, aprenderemos como resolver sistemas de equações usando o método de adição. Em seguida, resolveremos vários exercícios práticos usando esse método.
Passos para resolver sistemas de equações por adição
O método de adição para resolver sistemas de equações consiste em multiplicar uma das equações por um número, de modo que ao somar ambas as equações, uma das variáveis seja eliminada.
Em detalhes, podemos seguir os seguintes passos para resolver sistemas de equações por adição:
1. Simplifique ambas as equações.
Isso inclui remover parênteses, eliminar frações e combinar termos semelhantes.
2. Escreva as equações na forma Ax+By=C para facilitar sua resolução.
3. Manipule as equações para obter coeficientes opostos em uma das variáveis.
Temos que eliminar uma das variáveis ao adicionar as equações. Portanto, temos que fazer um coeficiente a e outro –a em uma das variáveis.
Por exemplo, se temos 2x em uma equação e 3x na outra, multiplicamos a primeira por 3 e a segunda por -2 para obter 6 e -6 respectivamente.
4. Adicione as equações.
Ao fazer isso, obteremos uma única equação com uma única variável.
5. Resolva a equação do passo 4 para a variável restante.
Se você precisar revisar, pode dar uma olhada em nosso artigo sobre como resolver equações com uma incógnita.
6. Encontre o valor da segunda variável.
Substitua o valor do passo 5 em qualquer equação e resolva a segunda variável.
Sistemas de equações por adição – Exercícios resolvidos
EXERCÍCIO 1
Use o método da adição para resolver o sistema: $latex \begin{cases}x-y=3 \\ 2x+y=12 \end{cases}$
Solução
Passos 1 e 2: As equações já estão simplificadas e já estão na forma Ax+By=C.
Passo 3: Temos coeficientes opostos na variável y.
Passo 4: Somando as equações, temos:
$latex x-y=3$
$latex + \hspace{1cm} 2x+y=12$
___________________
$latex 3x=15$
Passo 5: Resolvendo para x, temos:
$latex 3x=15$
$latex x=5$
Passo 6: Substituindo $latex x=5$ na segunda equação, temos:
$latex 2x+y=12$
$latex 2(5)+y=12$
$latex 10+y=12$
$latex y=2$
A solução do sistema de equações é $latex x=5,~~y=2$.
EXERCÍCIO 2
Encontre a solução para o sistema de equações usando o método da adição: $latex \begin{cases}y=2x+7 \\ -6x-2y=-4 \end{cases}$
Solução
Passo 1: Podemos dividir a segunda equação por -2:
$latex \begin{cases}y=2x+7 \\ 3x+y=2 \end{cases}$
Passo 2: Escrevemos as equações na forma Ax+By=C:
$latex \begin{cases}-2x+y=7 \\ 3x+y=2 \end{cases}$
Passo 3: Multiplicamos a primeira equação por -1 para obter coeficientes opostos em y:
$latex \begin{cases}2x-y=-7\\ 3x+y=2 \end{cases}$
Passo 4: Somando as equações, temos:
$latex 2x-y=-7$
$latex + \hspace{1cm} 3x+y=2$
___________________
$latex 5x=-5$
Passo 5: Resolvemos para x:
$latex 5x=-5$
$latex x=-1$
Passo 6: Substituindo $latex x=-1$ na primeira equação, temos:
$latex y=2x+7$
$latex y=2(-1)+7$
$latex y=5$
A solução é $latex x=-1, ~~y=5$.
EXERCÍCIO 3
Resolva o sistema de equações: $latex \begin{cases}2x=3y-14 \\ 2y=x+8 \end{cases}$
Solução
Passo 1: As equações já estão simplificadas.
Passo 2: Escrevendo as equações na forma Ax+By=C, temos:
$latex \begin{cases}2x-3y=-14 \\ -x+2y=8 \end{cases}$
Passo 3: Multiplicamos a segunda equação por 2 para obter coeficientes opostos em x:
$latex \begin{cases}2x-3y=-14 \\ -2x+4y=16 \end{cases}$
Passo 4: Somando as equações, obtemos:
$latex 2x-3y=-14$
$latex + \hspace{1cm} -2x+4y=16$
___________________
$latex y=2$
Passo 5: Já temos o valor de y:
$latex y=2$
Passo 6: Usando o valor $latex y=2$ na primeira equação, temos:
$latex 2x=3y-14$
$latex 2x=3(2)-14$
$latex 2x=-8$
$latex x=-4$
A solução é $latex x=-4,~~y=2$.
EXERCÍCIO 4
Resolva o sistema de equações: $latex \begin{cases}2x-3y=7 \\ 2x+3y=1 \end{cases}$
Solução
Passos 1 e 2: Não temos nada para simplificar e as equações já estão na forma Ax+By=C.
Passo 3: Já temos coeficientes opostos em y.
Passo 4: Somando as equações, temos:
$latex 2x-3y=7$
$latex + \hspace{1cm} 2x+3y=1$
___________________
$latex 4x=8$
Passo 5: Resolvendo a equação, temos:
$latex x=2$
Passo 6: Usando o valor $latex x=2$ na segunda equação, temos:
$latex 2x+3y=1$
$latex 2(2)+3y=1$
$latex 4+3y=1$
$latex 3y=-3$
$latex y=-1$
A solução é $latex x=2,~~y=-1$.
EXERCÍCIO 5
Encontre a solução para o sistema de equações: $latex \begin{cases}3x-y=1 \\ 5x+y=7 \end{cases}$
Solução
Passos 1 e 2: As equações já estão simplificadas e escritas na forma Ax+By=C.
Passo 3: Já temos coeficientes opostos em y:
$latex \begin{cases}3x-y=1 \\ 5x+y=7 \end{cases}$
Passo 4: Somando as equações, temos:
$latex 3x-y=1$
$latex + \hspace{1cm} 5x+y=7$
___________________
$latex 8x=8$
Passo 5: Resolvendo para x, temos:
$latex x=1$
Passo 6: Usando o valor $latex x=1$ na segunda equação, temos:
$latex 5x+y=7$
$latex 5(1)+y=7$
$latex y=2$
A solução é $latex x=1,~~y=2$.
EXERCÍCIO 6
Resolva o sistema de equações: $latex \begin{cases}2x-7y=1 \\ 2x+3y=11 \end{cases}$
Solução
Passos 1 e 2: As equações já estão simplificadas e escritas na forma Ax+By=C.
Passo 3: Multiplicamos a segunda equação por -1 para obter coeficientes opostos em x:
$latex \begin{cases}2x-7y=1 \\ -2x-3y=-11 \end{cases}$
Passo 4: Somando as equações, temos:
$latex 2x-7y=1$
$latex + \hspace{1cm} -2x-3y=-11$
___________________
$latex -10y=-10$
Passo 5: Resolvendo a equação, temos:
$latex y=1$
Passo 6: Usando o valor $latex y=1$ na primeira equação, temos:
$latex 2x-7y=1$
$latex 2x-7(1)=1$
$latex 2x=8$
$latex x=4$
A solução é $latex x=4,~~y=1$.
EXERCÍCIO 7
Resolva o sistema de equações: $latex \begin{cases}3x-4y=5 \\ 6x-4y=2 \end{cases}$
Solução
Passo 1: Podemos simplificar a segunda equação dividindo-a por 2:
$latex \begin{cases}3x-4y=5 \\ 3x-2y=1 \end{cases}$
Passo 2: As equações já estão na forma Ax+By=C.
Passo 3: Multiplicamos a segunda equação por -1 para obter coeficientes opostos em x:
$latex \begin{cases}3x-4y=5 \\ -3x+2y=-1 \end{cases}$
Passo 4: Somando as equações, temos:
$latex 3x-4y=5$
$latex + \hspace{1cm} -3x+2y=-1$
___________________
$latex -2y=4$
Passo 5: Resolvendo a equação, temos:
$latex y=-2$
Passo 6: Usando o valor $latex y=-2$ na segunda equação, temos:
$latex 3x-2y=1$
$latex 3x-2(-2)=1$
$latex 3x+4=1$
$latex 3x=-3$
$latex x=-1$
A solução é $latex x=-1,~~y=-2$.
Sistemas de equações por adição – Exercícios para resolver
Resolva o sistema de equações: $latex \begin{cases}3x-2y=5 \\ 2x+y=8 \end{cases}$
Escreva a resposta na forma x=?, y=?.
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
