Sistemas de Equações pelo Método da Substituição

Sistemas de equações são equações simultâneas que compartilham as mesmas soluções. Podemos resolver sistemas de duas equações com duas incógnitas usando o método de substituição. Este método consiste em isolar uma das variáveis em uma das equações. Depois, precisamos substituir essa expressão na segunda equação para formar uma única equação com uma incógnita.

A seguir, aprenderemos como resolver sistemas de equações usando o método da substituição. Vamos resolver vários exercícios para entender o processo utilizado.

ÁLGEBRA

Relevante para…

Aprender a resolver sistemas de equações com o método da substituição.

Ver método

Conteúdo

ÁLGEBRA

Relevante para…

Aprender a resolver sistemas de equações com o método da substituição.

Ver método

freestar.config.enabled_slots.push({ placementName: "neurochispas_leaderboard_3", slotId: "neurochispas_leaderboard_3_01" });

Passos para resolver sistemas de equações por substituição

O método da substituição para resolver sistemas de equações consiste em resolver uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substituímos a expressão obtida na segunda equação e obteremos uma equação com uma única variável, que pode ser facilmente resolvida.

Em detalhes, podemos seguir os seguintes passos para resolver sistemas de equações por substituição:

1. Simplifique ambas as equações, se possível.

Isso inclui remover parênteses, combinar termos semelhantes e eliminar frações.

2. Resolva uma equação para uma variável.

Podemos escolher qualquer uma das equações e resolver qualquer uma das variáveis.

3. Substitua a expressão obtida no passo 2 na outra equação.

Ao fazer isso, obteremos uma equação com apenas uma incógnita.

4. Resolva a equação do passo 3.

Fazendo isso, obteremos o valor de uma das variáveis. Se você precisar revisar, pode dar uma olhada em nosso artigo sobre como resolver equações com uma incógnita.

5. Encontre o valor da outra variável.

Substituímos o valor da variável obtida no passo 4 em qualquer uma das duas equações e resolvemos.

freestar.config.enabled_slots.push({ placementName: "neurochispas_leaderboard_3", slotId: "neurochispas_leaderboard_3_d1" });

Sistemas de equações por substituição – Exercícios resolvidos

EXERCÍCIO 1

Encontre as soluções para o sistema de equações usando o método da substituição: $latex \begin{cases}x+2y=10 \\ 2x-y=5 \end{cases}$

Solução

Passo 1: As equações já estão simplificadas.

Passo 2: Resolvendo a primeira equação para x, temos:

$latex x+2y=10$

$latex x=10-2y$

Passo 3: Substituindo $latex por x=10-2y$ na segunda equação, temos:

$latex 2x-y=5$

$latex 2(10-2y)-y=5$

$latex 20-4y-y=5$

Passo 4: Resolvendo para y, temos:

$latex 20-4y-y=5$

$latex -5y=-15$

$latex y=3$

Passo 5: Substituindo o valor $latex y=3$ na primeira equação, temos:

$latex x+2y=10$

$latex x+2(3)=10$

$latex x=4$

A solução para o sistema é $latex x=4,~~y=3$.

const alltoggles = document.getElementsByClassName("wp-block-ub-content-toggle-accordion-title-wrap"); const toggle1 = alltoggles[0]; toggle1.addEventListener('click', runToggle1); function runToggle1() { freestar.config.enabled_slots.push({ placementName: "neurochispas_leaderboard_3", slotId: "neurochispas_leaderboard_3" }); toggle1.removeEventListener('click', runToggle1); }

EXERCÍCIO 2

Resolva o seguinte sistema de equações usando o método da substituição: $latex \begin{cases}-2x-y=1 \\ 3x+4y=6 \end{cases}$

Solução

Passo 1: As equações já estão simplificadas.

Passo 2: Resolvendo a primeira equação para y, temos:

$latex -2x-y=1$

$latex -y=1+2x$

$latex y=-1-2x$

Passo 3: Substituindo $latex y=-1-2x$ na segunda equação, temos:

$latex 3x+4y=6$

$latex 3x+4(-1-2x)=6$

$latex 3x-4-8x=6$

Passo 4: Resolvendo para x, temos:

$latex 3x-4-8x=6$

$latex -5x=10$

$latex x=-2$

Passo 5: Substituindo $latex x=-2$ na primeira equação, temos:

$latex -2x-y=1$

$latex -2(-2)-y=1$

$latex 4-y=1$

$latex -y=-3$

$latex y=3$

A solução do sistema é $latex x=-2, ~~y=3$.

const toggle2 = alltoggles[1]; toggle2.addEventListener('click', runToggle2); function runToggle2() { freestar.config.enabled_slots.push({ placementName: "neurochispas_leaderboard_3", slotId: "neurochispas_leaderboard_3_2" }); toggle2.removeEventListener('click', runToggle2);}

EXERCÍCIO 3

Encontre a solução para o sistema de equações usando o método da substituição: $latex \begin{cases}2(2x-4)+y=3 \\ -x+2y=4 \end{cases}$

Solução

Passo 1: Podemos simplificar a primeira equação:

$latex \begin{cases}4x-8+y=3 \\ -x+2y=4 \end{cases}$

Passo 2: Resolvendo a primeira equação para y, temos:

$latex 4x-8+y=3$

$latex y=-4x+11$

Passo 3: Substituindo $latex y=-4x+11$ na segunda equação, temos:

$latex -x+2y=4$

$latex -x+2(-4x+11)=4$

$latex -x-8x+22=4$

Passo 4: Resolvendo para x, temos:

$latex -x-8x+22=4$

$latex -9x=-18$

$latex x=2$

Passo 5: Substituindo $latex x=2$ na segunda equação, temos:

$latex -x+2y=4$

$latex -2+2y=4$

$latex 2y=6$

$latex y=3$

A solução do sistema é $latex x=2,~~y=3$.

const toggle3 = alltoggles[2]; toggle3.addEventListener('click', runToggle3); function runToggle3() { freestar.config.enabled_slots.push({ placementName: "neurochispas_leaderboard_3", slotId: "neurochispas_leaderboard_3_3" }); toggle3.removeEventListener('click', runToggle3);}

EXERCÍCIO 4

Resolva o sistema de equações: $latex \begin{cases}3x+4y-27=0 \\ 5x+y-11=0 \end{cases}$

Solução

Passo 1: As equações já estão simplificadas.

Passo 2: Podemos resolver a segunda equação para y:

$latex 5x+y-11=0$

$latex y=-5x+11$

Passo 3: Substituindo $latex y=-5x+11$ na primeira equação, temos:

$latex 3x+4y-27=0$

$latex 3x+4(-5x+11)-27=0$

$latex 3x-20x+44-27=0$

$latex -17x+17=0$

Passo 4: Resolvendo para x, temos:

$latex -17x+17=0$

$latex -17x=-17$

$latex x=1$

Passo 5: Substituindo $latex x=1$ na segunda equação, temos:

$latex 5x+y-11=0$

$latex 5(1)+y-11=0$

$latex y-6=0$

$latex y=6$

A solução do sistema é $latex x=1,~~y=6$.

const toggle4 = alltoggles[3]; toggle4.addEventListener('click', runToggle4); function runToggle4() { freestar.config.enabled_slots.push({ placementName: "neurochispas_leaderboard_3", slotId: "neurochispas_leaderboard_3_4" }); toggle4.removeEventListener('click', runToggle4);}

EXERCÍCIO 5

Encontre a solução para o sistema de equações: $latex \begin{cases}2(-x+y)=-3x+y+9 \\ 2x+y=13 \end{cases}$

Solução

Passo 1: Simplificando a primeira equação, temos:

$latex \begin{cases}x+y=9 \\ 2x+y=13 \end{cases}$

Passo 2: Resolvendo a primeira equação para y, temos:

$latex x+y=9$

$latex y=9-x$

Passo 3: Substituindo $latex y=9-x$ na segunda equação, temos:

$latex 2x+y=13$

$latex 2x+9-x=13$

Passo 4: Resolvendo para x, temos:

$latex 2x+9-x=13$

$latex x=4$

Passo 5: Substituindo $latex x=4$ na primeira equação, temos:

$latex x+y=9$

$latex 4+y=9$

$latex y=5$

A solução do sistema é $latex x=4,~~y=5$.

const toggle5 = alltoggles[4]; toggle5.addEventListener('click', runToggle5); function runToggle5() { freestar.config.enabled_slots.push({ placementName: "neurochispas_leaderboard_3", slotId: "neurochispas_leaderboard_3_5" }); toggle5.removeEventListener('click', runToggle5);}

EXERCÍCIO 6

Encontre a solução para o sistema de equações: $latex \begin{cases}2x-3y=7 \\ 2x+3y=1 \end{cases}$

Solução

Passo 1: As equações já estão simplificadas.

Passo 2: Resolvendo a primeira equação para x, temos:

$latex 2x-3y=7$

$latex 2x=3y+7$

$latex x=\frac{3y+7}{2}$

Passo 3: Substituindo $latex x=\frac{3y+7}{2}$ na segunda equação, temos:

$latex 2x+3y=1$

$latex 2\left(\frac{3y+7}{2}\right)+3y=1$

$latex 3y+7+3y=1$

Passo 4: Resolvendo para y, temos:

$latex 3y+7+3y=1$

$latex 6y=-6$

$latex y=-1$

Passo 5: Substituindo $latex y=-1$ na segunda equação, temos:

$latex 2x+3y=1$

$latex 2x+3(-1)=1$

$latex 2x-3=1$

$latex 2x=4$

$latex x=2$

A solução do sistema é $latex x=2,~~y=-1$.

const toggle6 = alltoggles[5]; toggle6.addEventListener('click', runToggle6); function runToggle6() { freestar.config.enabled_slots.push({ placementName: "neurochispas_leaderboard_3", slotId: "neurochispas_leaderboard_3_6" }); toggle6.removeEventListener('click', runToggle6);}

EXERCÍCIO 7

Resolva o sistema de equações usando o método de substituição: $latex \begin{cases}3x-4y=5 \\ 6x-4y=2 \end{cases}$

Solução

Passo 1: Podemos simplificar a segunda equação dividindo-a por 2:

$latex \begin{cases}3x-4y=5 \\ 3x-2y=1 \end{cases}$

Passo 2: Resolvendo a segunda equação para x, temos:

$latex 3x-2y=1$

$latex 3x=2y+1$

$latex x=\frac{2y+1}{3}$

Passo 3: Substituindo $latex x=\frac{2y+1}{3}$ na primeira equação, temos:

$latex 3x-4y=5$

$latex 3\left(\frac{2y+1}{3}\right)-4y=5$

$latex 2y+1-4y=5$

Passo 4: Resolvendo para y, temos:

$latex 2y+1-4y=5$

$latex -2y=4$

$latex y=-2$

Passo 5: Substituindo $latex y=-2$ na segunda equação, temos:

$latex 3x-2y=1$

$latex 3x-2(-2)=1$

$latex 3x+4=1$

$latex 3x=-3$

$latex x=-1$

A solução do sistema é $latex x=-1,~~y=-2$.

const toggle7 = alltoggles[6]; toggle7.addEventListener('click', runToggle7); function runToggle7() { freestar.config.enabled_slots.push({ placementName: "neurochispas_leaderboard_3", slotId: "neurochispas_leaderboard_3_7" }); toggle7.removeEventListener('click', runToggle7);}

freestar.config.enabled_slots.push({ placementName: "neurochispas_leaderboard_3", slotId: "neurochispas_leaderboard_3_d2" });

Sistemas de equações por substituição – Exercícios para resolver

Prática de sistemas de equações por substituição

Você completou os exercícios!

Resolva o sistema de equações: $latex \begin{cases}x-2y=5 \\ 3x+y=8 \end{cases}$

Escreva a resposta na forma x=?, y=?.

freestar.config.enabled_slots.push({ placementName: "neurochispas_leaderboard_3", slotId: "neurochispas_leaderboard_3_d3" });

Veja também

Interessado em aprender mais sobre sistemas de equações? Veja estas páginas:

Jefferson Huera Guzman

Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.

.author-box {margin: 70px 0; padding: 30px; background-color: #f9fcff; border-radius: 15px; box-shadow: 0px 0px 10px #ccc; max-width:1100px; margin-left:auto !important; margin-right:0px !important; } .author-box img {margin:auto; border-radius: 50%;} .author-box h3 {margin-top: 20px; font-size:19px;} .author-box p {margin: 10px 0; text-align:left; } .author-box a {display: inline-block; margin-right: 10px; color: black; text-decoration: none;} { "@context": "http://schema.org", "@type": "Person", "name": "Jefferson Huera Guzman", "image": "https://br.neurochispas.com/wp-content/uploads/2021/05/imagen-autor.png", "url": "https://br.neurochispas.com/jefferson-huera-guzman", "description": "Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com.", "sameAs": [ "https://www.instagram.com/jeffersonhuera/", "https://www.jeffersonhuera.com/"], "email": "[email protected]", "worksFor": { "@type": "Organization", "name": "Interacti Digital LLC"}, "alumniOf": { "@type": "CollegeOrUniversity", "name": "The University of Manchester"}, "knowsAbout": [ "Algebra", "Calculus", "Geometry", "Mathematics", "Physics"] }

Aprenda matemática com nossos recursos adicionais em diferentes tópicos

APRENDER MAIS

freestar.config.enabled_slots.push({ placementName: "neurochispas_leaderboard_1", slotId: "neurochispas_leaderboard_1_30" });

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

Passos para resolver sistemas de equações por substituição

1. Simplifique ambas as equações, se possível.

2. Resolva uma equação para uma variável.

3. Substitua a expressão obtida no passo 2 na outra equação.

4. Resolva a equação do passo 3.

5. Encontre o valor da outra variável.

Sistemas de equações por substituição – Exercícios resolvidos

EXERCÍCIO 1

Solução

EXERCÍCIO 2

Solução

EXERCÍCIO 3

Solução

EXERCÍCIO 4

Solução

EXERCÍCIO 5

Solução

EXERCÍCIO 6

Solução

EXERCÍCIO 7

Solução

Sistemas de equações por substituição – Exercícios para resolver

Resolva o sistema de equações: $latex \begin{cases}x-2y=5 \\ 3x+y=8 \end{cases}$

Veja também

Jefferson Huera Guzman

Aprenda matemática com nossos recursos adicionais em diferentes tópicos

INFORMAÇÃO

RECURSOS

SUPORTE