Equações quadráticas são equações algébricas que têm a forma ax²+bx+c=0. Existem vários métodos que podemos usar para resolver equações quadráticas, dependendo do tipo de equação quadrática que temos. No entanto, resolver equações do segundo grau pela fórmula de Bhaskara é um método que sempre nos permite encontrar ambas as soluções da equação.
A seguir, faremos uma breve revisão da fórmula de Bhaskara. Em seguida, aprenderemos a resolver equações do segundo grau com esta fórmula e veremos alguns exemplos práticos.
ÁLGEBRA
Relevante para…
Aprender a resolver equações do segundo grau usando a fórmula de Bhaskara.
ÁLGEBRA
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Aprender a resolver equações do segundo grau usando a fórmula de Bhaskara.
Como resolver equações do segundo grau usando a fórmula de Bhaskara?
Para resolver equações quadráticas usando a fórmula de Bhaskara, começamos escrevendo a equação na forma $latex a{{x}^2}+bx+c=0$. Uma vez que tenhamos a equação escrita dessa forma, simplesmente colocamos os coeficientes a, b e c na fórmula:
| $$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$ |
Nota: O sinal ± é muito importante, pois assim obteremos ambas as soluções da equação quadrática quando for o caso.
A quantidade que vai dentro do sinal da raiz quadrada, ou seja, $latex b^2-4ac$ é chamada de discriminante da equação quadrática.
O número de raízes e o tipo de raízes resultantes da equação quadrática dependem do valor do discriminante. Então, temos o seguinte:
- Se $latex b^2-4ac>0$, a equação tem duas raízes reais.
- Se $latex b^2-4ac<0$, a equação não tem raízes reais.
- Se $latex b^2-4ac=0$, a equação tem uma raiz repetida.
Em outras palavras, se o valor dentro da raiz quadrada for positivo, teremos duas raízes reais. Se esse valor for negativo, não teremos raízes reais (mas teremos raízes imaginárias ou complexas). Se esse valor for igual a zero, temos uma única raiz.
Se você quiser saber como derivar a fórmula de Bhaskara, visite nosso artigo Fórmula de Bhaskara – Derivação.
Equações quadráticas pela fórmula de Bhaskara- Exercícios resolvidos
Os exercícios a seguir são resolvidos usando a fórmula de Bhaskara. Cada exercício tem sua respectiva resposta, mas tente resolver os exercícios você mesmo antes de olhar para a solução.
EXERCÍCIO 1
Encontre as soluções para a equação $latex {{x}^2}+3x-4=0$ usando a fórmula de Bhaskara.
Solução
Usando os valores $latex a=1$, $latex b=3$ e $latex c=-4$ na fórmula, temos:
$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
$$x=\frac{-(3)\pm \sqrt{( 3)^2-4(1)(-4)}}{2(1)}$$
$$=\frac{-3\pm \sqrt{9+16}}{2}$$
$$=\frac{-3\pm \sqrt{25}}{2}$$
$$=\frac{-3\pm 5}{2}$$
$$=\frac{-3-5}{2},~~\frac{-3+5}{2}$$
$$=\frac{-8}{2},~\frac{2}{2}=-4,~1$$
Então as soluções são $latex x=-4$ e $latex x=1$.
EXERCÍCIO 2
Resolva a equação $latex x^2-8x+4=0$, dando respostas com duas casas decimais.
Solução
Temos os valores $latex a=1$, $latex b=-8$, e $latex c=4$. Então temos:
$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
$$x=\frac{-(-8)\pm \sqrt{( -8)^2-4(1)(4)}}{2(1)}$$
$$=\frac{8\pm \sqrt{64-16}}{2}$$
$$=\frac{8\pm \sqrt{48}}{2}$$
$$x=7,46 \text{ ou } 0,54$$
Portanto, as soluções são $latex x=7,46$ e $latex x=0,54$.
EXERCÍCIO 3
Usando a fórmula de Bhaskara, mostre que a equação $latex 5x^2+4x+10=0$ não tem soluções reais.
Solução
Usando a fórmula de Bhaskara com os valores $latex a=5$, $latex b=4$ e $latex c=10$, temos:
$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
$$x=\frac{-(4)\pm \sqrt{( 4)^2-4(5)(10)}}{2(5)}$$
$$=\frac{-5\pm \sqrt{16-200}}{10}$$
$$=\frac{-5\pm \sqrt{-184}}{10}$$
Temos um número negativo dentro da raiz quadrada. $latex \sqrt{-184}$ não é um número real, então a equação não tem raízes reais.
EXERCÍCIO 4
Resolva a equação $latex x^2-10x+25=0$ usando a fórmula de Bhaskara.
Solução
Usamos os valores $latex a=1$, $latex b=-10$ e $latex c=25$ na fórmula de Bhaskara e temos:
$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
$$x=\frac{-(-10)\pm \sqrt{( -10)^2-4(1)(25)}}{2(1)}$$
$$=\frac{10\pm \sqrt{100-100}}{2}$$
$$=\frac{10\pm \sqrt{0}}{2}$$
$$=\frac{10}{2}$$
$$=5$$
Neste caso, temos uma única raiz repetida $latex x=5$.
EXERCÍCIO 5
Encontre as soluções para a equação $latex x^2+2x-1=0$ expressando-as com duas casas decimais.
Solução
Usando a fórmula de Bhaskara com $latex a=1$, $latex b=2$ e $latex c=-1$, temos:
$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
$$x=\frac{-(2)\pm \sqrt{( 2)^2-4(1)(-1)}}{2(1)}$$
$$=\frac{-2\pm \sqrt{4+4}}{2}$$
$$=\frac{-2\pm \sqrt{8}}{2}$$
$$x=-2,41 \text{ ou }0,41$$
Então as soluções são $latex x=-2,41$ e $latex x=0,41$.
EXERCÍCIO 6
Resolva a equação $latex 2x^2+3x-4=0$ usando a fórmula de Bhaskara. Expresse as soluções com duas casas decimais.
Solução
Temos os valores $latex a=2$, $latex b=3$, e $latex c=-4$. Então temos:
$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
$$x=\frac{-(3)\pm \sqrt{( 3)^2-4(2)(-4)}}{2(2)}$$
$$=\frac{-3\pm \sqrt{9+32}}{4}$$
$$=\frac{-3\pm \sqrt{41}}{2}$$
$$=-2,35 \text{ ou }0,85$$
As soluções da equação são $latex x=-2,35$ e $latex x=0,85$.
EXERCÍCIO 7
Quais são as soluções para a equação $latex 3x^2+x-3=0$ com duas casas decimais?
Solução
Usando os valores $latex a=3$, $latex b=1$ e $latex c=-3$ na fórmula de Bhaskara, temos:
$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
$$x=\frac{-(1)\pm \sqrt{( 1)^2-4(3)(-3)}}{2(3)}$$
$$=\frac{-1\pm \sqrt{1+36}}{6}$$
$$=\frac{-1\pm \sqrt{37}}{6}$$
$$x=-1,18\text{ ou }0,85$$
As soluções da equação são $latex x=-1,18$ e $latex x=0,85$.
Equações quadráticas pela fórmula de Bhaskara – Exercícios para resolver
Resolva os exercícios a seguir usando a fórmula de Bhaskara. Clique em “Verificar” para verificar se sua resposta está correta.
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
