Uma equação quadrática incompleta é uma equação quadrática que não possui um termo da forma ax²+bx+c=0 (desde que o termo x² esteja sempre presente). Essas equações são geralmente mais fáceis de resolver do que uma equação quadrática completa. Dependendo do termo que falta, temos dois tipos de equações quadráticas incompletas.
A seguir, aprenderemos detalhadamente sobre os dois tipos de equações quadráticas incompletas. Aprenderemos como resolver esses tipos de equações e veremos alguns exemplos práticos.
Como resolver equações quadráticas incompletas?
Para resolver equações quadráticas incompletas, temos que começar determinando o termo faltante da equação quadrática dada na forma $latex ax^2+bx+c=0$. Dependendo disso, podemos usar dois métodos diferentes para encontrar as soluções da equação.
Resolva equações quadráticas que não têm o termo bx
Essas equações quadráticas têm a forma $latex ax^2+c=0$ e não possuem um termo bx. Para resolver essas equações, precisamos isolar x² e depois tirar a raiz quadrada de ambos os lados da equação.
Por exemplo, vamos resolver a equação $latex x^2-16=0$. Então, temos que reorganizá-lo da seguinte forma:
$latex x^2=16$
Agora tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
$latex x=\sqrt{16}$
$latex x=\pm 4$
Nota: A solução negativa também deve ser considerada porque $latex (-4)^2=16$.
Resolver equações quadráticas que não têm o termo c
Essas equações quadráticas têm a forma $latex ax^2+bx=0$ e não têm o termo constante c. Para resolver essas equações, precisamos fatorar o x no lado esquerdo da equação, formar uma equação com cada fator e depois resolver.
Por exemplo, vamos resolver a equação $latex x^2-7x=0$. Então, fatoramos da seguinte forma:
$latex x(x-7)=0$
Agora, formamos uma equação com cada fator e resolvemos:
$latex x=0~~$ ou $latex ~~x-7=0$
$latex x=0~~$ ou $latex ~~x=7$
Nota: Neste tipo de equação, uma das soluções será sempre $latex x=0$.
Equações quadráticas incompletas – Exercícios resolvidos
Os métodos para resolver ambos os tipos de equações quadráticas incompletas são usados nos exercícios a seguir. Tente resolver os exercícios antes de olhar para a solução.
EXERCÍCIO 1
Encontre as soluções da equação $latex x^2-4=0$.
Solução
Esta equação quadrática não tem o termo bx. Então, podemos resolvê-lo isolando o termo quadrático e tirando a raiz quadrada de ambos os lados da equação:
$latex x^2-4=0$
$latex x^2=4$
$latex x=\pm\sqrt{4}$
$latex x=\pm 2$
As soluções da equação são $latex x=2$ e $latex x=-2$.
EXERCÍCIO 2
Encontre as soluções da equação $latex x^2+4x=0$.
Solução
Esta equação não tem o termo constante c. Então, para resolvê-lo, temos que fatorar o x e formar uma equação com cada fator:
$latex x^2+4x=0$
$latex x(x+4)=0$
$latex x=0 ~~$ ou $latex ~~x+4=0$
$latex x=0 ~~$ ou $latex ~~x=-4$
As soluções da equação são $latex x=0$ e $latex x=-4$
EXERCÍCIO 3
Encontre as raízes da equação $latex x^2-10=0$.
Solução
Para resolver esta equação, temos que isolar o termo quadrático e tirar a raiz quadrada de ambos os lados:
$latex x^2-10=0$
$latex x^2=10$
$latex x=\pm\sqrt{10}$
As raízes da equação são $latex \sqrt{10}$ e $latex -\sqrt{10}$.
EXERCÍCIO 4
Quais são as raízes da equação $latex x^2-10x=0$?
Solução
Para resolver esta equação, temos que fatorar o x de ambos os termos e então formar uma equação com cada fator da equação quadrática:
$latex x^2-10x=0$
$latex x(x-10)=0$
$latex x=0 ~~$ ou $latex ~~x-10=0$
$latex x=0 ~~$ ou $latex ~~x=10$
As raízes da equação são $latex x=0$ e $latex x=10$.
EXERCÍCIO 5
Prove que a equação $latex x^2+9=0$ não tem raízes reais.
Solução
Podemos isolar o termo quadrático e, em seguida, tirar a raiz quadrada de ambos os lados da equação:
$latex x^2+9=0$
$latex x^2=-9$
$latex x=\pm\sqrt{-9}$
Vemos que temos uma raiz quadrada de um número negativo. Portanto, a equação quadrática não tem raízes reais.
Nota: Se estivermos usando números imaginários, a equação tem duas raízes complexas.
EXERCÍCIO 6
Determine as raízes da equação $latex 4x^2+8x=0$.
Solução
Nesse caso, podemos fatorar o termo 4x da equação. Então, formamos uma equação com cada termo e resolvemos:
$latex 4x^2+8x=0$
$latex 4x(x+2)=0$
$latex 4x=0 ~~ $ ou $latex ~~x+2=0$
$latex x=0 ~~$ ou $latex ~~x=-2$
As soluções da equação são $latex x=0$ e $latex x=-2$.
EXERCÍCIO 7
Encontre as soluções da equação $latex 4x^2-20=0$.
Solução
Para resolver esta equação, precisamos isolar x² e depois tirar a raiz quadrada de ambos os lados da equação:
$latex 4x^2-20=0$
$latex 4x^2=20$
$latex x^2=5$
$latex x=\pm\sqrt{5}$
As soluções da equação são $latex \sqrt{5}$ e $latex -\sqrt{5}$.
Equações quadráticas incompletas – Exercícios para resolver
Resolva os seguintes exercícios aplicando os métodos de resolução de equações quadráticas incompletas.
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
