Para determinar quando é uma função e quando não é, devemos examinar as entradas e saídas do relacionamento. Se as entradas da relação produzem apenas uma saída, então a relação é uma função. Caso contrário, se as entradas produzem duas ou mais saídas, o relacionamento não é uma função.
Definições
Relações
Uma relação é um conjunto de entradas e saídas, geralmente escritos como pares ordenados (entradas, saídas). O conjunto dos primeiros componentes de cada par ordenado é denominado domínio e o conjunto dos segundos componentes de cada par ordenado é denominado imagem. Por exemplo, nos seguintes conjuntos de pares ordenados, os primeiros números em cada par são os primeiros quatro números naturais e os segundos números são o triplo do primeiro:
{(1, 3), (2, 6), (3, 9), (4, 12)}
O domínio é {1, 2, 3, 4} e a imagem é {3, 6, 9, 12}.
Cada valor no domínio também é conhecido como uma entrada ou como uma variável independente e geralmente é representado pela letra x. Cada valor na imagem também é conhecido como uma saída ou uma variável dependente e geralmente é representado pela letra y.
Funções
Uma função é um relacionamento que atribui um único valor na imagem a cada valor no domínio. Isso significa que os valores de x não se repetem. No exemplo que temos acima, relacionamos os primeiros quatro números naturais para triplicar esses números. Essa relação é de fato uma função, uma vez que cada elemento no domínio, {1, 2, 3, 4}, está emparelhado com exatamente um elemento no intervalo {3, 6, 9, 12}.
Agora, vejamos outro exemplo. Considere os seguintes pares ordenados, onde relacionamos letras a números:
{(A, 1), (B, 2), (A, 3), (B, 4)}
Observe que cada elemento no domínio {A, B} não está emparelhado com exatamente um elemento na imagem {1, 2, 3, 4}. Por exemplo, a letra A corresponde a dois valores da imagem {1, 3} e a letra B corresponde a dois valores da imagem {2, 4}. Isso significa que esse relacionamento não é uma função.
Na imagem a seguir, podemos comparar relações que são funções e não funções:
Como determinar quando é uma função e quando não é?
Para determinar se é uma função ou não, podemos usar o seguinte:
1. Identifique os valores de entrada.
2. Identifique os valores de saída.
3. Se cada valor de entrada produz apenas um valor de saída, a relação é uma função. Se cada valor de entrada produz dois ou mais valores de saída, o relacionamento não é uma função.
Também podemos resolver graficamente usando o teste de linha em diagramas de mapeamento ou o teste de linha vertical para gráficos.
Testando a linha em diagramas de mapeamento
Para verificar se uma relação é uma função usando diagramas de mapeamento, usamos os seguintes critérios: se cada entrada tem apenas uma linha conectada, então as saídas representam uma função.
Por exemplo, no diagrama de mapeamento a seguir, y é uma função de x, mas x não é uma função de y.
Teste de linha vertical para gráficos
Para determinar se y é uma função de x dado um gráfico da relação, podemos usar os seguintes critérios: se todas as linhas verticais que podem ser traçadas passarem por um único ponto no gráfico, a relação é uma função. Se for possível traçar uma linha vertical que passe por pelo menos dois pontos no gráfico, então a relação não é uma função.
Por exemplo, no gráfico a seguir, podemos ver que y é uma função de x:
Exemplos com resposta
EXEMPLO 1
Determine se as listas de preços de um menu são funções.
Temos o menu mostrado na imagem, que consiste nos itens e seus preços.
1. O preço é uma função do item?
2. O item é função do preço?
Solução:
1. Vamos considerar os elementos como entradas. Portanto, os preços são os valores iniciais. Cada item no menu tem apenas um preço, então o preço é uma função do item.
2. Agora vamos considerar os preços como entradas. Vemos que dois itens de menu têm o mesmo preço. Isso significa que as entradas possuem mais de um valor de saída atribuído, portanto não representa uma função. Os itens não são função do preço.
EXEMPLO 2
Determine se o diagrama de mapeamento a seguir representa uma função.
Solução:
Podemos ver facilmente que cada valor de entrada corresponde a um único valor de saída, portanto, o diagrama de mapeamento representa uma função.
EXEMPLO 3
Determine se o gráfico a seguir representa uma função.
Solução: podemos usar o teste da linha vertical para determinar se é uma função ou não:
Vemos que as linhas verticais desenhadas cruzam a função em um único ponto, então o gráfico representa uma função.
EXEMPLO 4
Determine se o gráfico a seguir representa uma função.
Solução: Novamente, usamos o teste da linha vertical para determinar se o gráfico é uma função ou não:
Desenhando várias linhas verticais, vemos que é possível que uma linha vertical cruze o gráfico em mais de um ponto. Isso significa que o gráfico não representa uma função.
Veja também
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