O domínio é o conjunto de valores possíveis para as entradas da função, ou seja, os valores de x. A imagem é o conjunto de valores possíveis para as saídas da função, ou seja, os valores de y. Neste artigo, veremos alguns exemplos resolvidos do domínio e a imagem das funções.
ALGEBRA
Relevante para…
Aprender sobre o domínio e a imagem das funções com exercícios.
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Aprender sobre o domínio e a imagem das funções com exercícios.
Domínio de funções
O domínio da função é o conjunto de todos os valores possíveis da variável independente. Ou seja, o domínio é o valor de todos os valores de x que funcionarão e farão com que a função retorne os valores reais de y.
Como encontrar o domínio?
Podemos determinar o domínio da função procurando os valores da variável independente (geralmente x), que podemos usar na função. Normalmente, isso envolve evitar valores que produzem um 0 no denominador de frações ou evitar valores negativos nas raízes quadradas.
Portanto, para encontrar o domínio, é importante lembrar que:
- O denominador de uma fração não pode ser zero.
- O número dentro de uma raiz quadrada deve ser positivo.
EXEMPLO
A seguir está o gráfico de $latex y=\sqrt{{x + 2}}$:
O domínio desta função é $latex x \ge -2$, porque x não pode ser menor que -2. Para verificar isso, podemos tentar o número -3. Substituindo $latex x=-3$, temos $latex y=\sqrt{{- 3+2}}=\sqrt{{- 1}}$. Temos um número negativo dentro de uma raiz quadrada e o resultado não é um número real, portanto, apenas valores de x maiores ou iguais a -2 produzem valores reais na função.
Imagem de funções
A imagem da função é o conjunto de todos os valores possíveis da variável dependente após ter substituído o domínio. Ou seja, a imagem são os valores resultantes de y que obtemos após ter substituído todos os valores possíveis de x.
Como encontrar a imagem?
Para encontrar a imagem, levamos em consideração o seguinte:
- A imagem de uma função é o conjunto de valores de y do valor mínimo ao valor máximo.
- Podemos inserir alguns valores de x para determinar o que acontece com os valores de y. Podemos descobrir se os valores de y são sempre positivos, sempre negativos.
- Certifique-se de encontrar os valores mínimo e máximo de y.
- Desenhe um gráfico básico para visualizar o problema.
EXEMPLO
Novamente, vamos olhar para o gráfico de $latex y=\sqrt{{x+2}}$:
Podemos ver que a curva está sempre acima do eixo horizontal. Não importa o valor de x que tentemos, sempre obteremos um valor de y que é zero ou positivo. Neste caso, a imagem é $latex y\ge 0$.
O gráfico vai para a direita indefinidamente, de modo que a faixa contém todos os valores não negativos de y.
Como encontrar o domínio e a imagem sem usar um gráfico?
É sempre mais fácil determinar o domínio e a imagem quando temos um gráfico, contanto que nos certifiquemos de aumentar e diminuir o zoom para capturar todos os detalhes necessários. No entanto, representar graficamente uma função nem sempre é possível, pois podemos não ter software ou calculadoras para representar graficamente em determinado momento.
Para encontrar o domínio e a imagem sem usar um gráfico, usamos o que vimos anteriormente:
- Não podemos ter valores negativos dentro de um sinal de raiz quadrada.
- Não podemos ter zeros no denominador de uma fração.
EXEMPLOS
Encontre o domínio e a imagem da função $latex f(x)=\frac{\sqrt{x+2}}{{{x}^2}- 9}$ sem usar um gráfico.
Solução: No numerador da fração, temos uma raiz quadrada. Para garantir que o valor sob a raiz não seja negativo, só podemos usar valores de x maiores ou iguais a -2.
O denominador da fração tem $latex {{x}^2}- 9$, que podemos escrever como $latex (x + 3)(x-3)$. Portanto, nossos valores para x não podem incluir -3 para o primeiro parêntese e 3 para o segundo parêntese.
Portanto, o domínio para esta função é $latex x \ge -2, ~~ x \ne 3$.
Para determinar a imagem, consideramos o numerador e o denominador da função separadamente:
Numerador: Se $latex x=-2$, temos $latex f(x)=\sqrt{{- 2+2}}=0$. À medida que x aumenta, o numerador também aumenta para o infinito.
Denominador: Dividimos nas seguintes partes:
Quando $latex x=-2$, a parte inferior da função é igual a $latex {{(-2)}^2}-9=4-9= -5$. Portanto, temos $latex f(-2)=\frac{0}{- 5}=0$.
Entre $latex x= -2$ e $latex x=3$, a expressão $latex {{(x)}^2}-9$ se aproxima de 0, portanto, a função tenderá ao infinito conforme nos aproximamos de $latex x=3$.
Para $latex x>3$, quando x é um pouco maior que 3, o valor do denominador é um pouco maior que 0, então a função terá um valor positivo muito grande.
Para valores muito grandes de x, o numerador será grande, mas o denominador será muito maior, então o valor da função ficará cada vez menor.
Portanto, o intervalo da função é $latex (-\infty, ~ 0], ~ (\infty, ~ 0]$.
Podemos visualizar isso no gráfico:
Exercícios resolvidos de domínio e imagem
EXERCÍCIO 1
Encontre o domínio e a imagem para a função $latex f(x)={{x}^2}+5$.
Domínio: A função $latex f(x)={{x}^2}+5$ é definida para todos os valores de x, uma vez que não há restrição ao valor de x. Portanto, o domínio de $latex f(x)$ é “todos os valores reais de x“.
Imagem: Como $latex {{x}^2}$ nunca é negativo, a função $latex f(x)={{x}^2}+5$ nunca é menor que 5. Portanto, o intervalo de $latex f(x)$ é “todos os números reais $latex f (x) \ge 5$”.
No gráfico, podemos ver que o domínio é todos os números reais, mas a imagem é todos os números reais maiores que 5:
EXERCÍCIO 2
Encontre o domínio e a imagem para a função $latex f(x)=\frac{1}{x+5}$.
Domínio: A função $latex f(x)=\frac{1}{x+5}$ não é definida para $latex x=-5$, pois este valor produziria uma divisão por 0. Portanto, o domínio da função é todos os números reais uma exceção de -5.
Imagem: Não importa quão grande ou pequeno seja x, a função $latex f(x)$ nunca será igual a 0. Isso significa que a imagem da função são todos números reais, exceto 0.
No gráfico, podemos ver que a função não está definida para $latex x=-5$ e que a imagem é toda inteira exceto 0:
EXERCÍCIO 3
Encontre o domínio e a imagem para a função $latex f(t)=\sqrt{{2-t}}$.
Domínio: A função $latex f(t)=\sqrt{{2-t}}$ não é definida para valores maiores que 2, pois isso faria com que tivéssemos um valor negativo dentro do sinal de raiz quadrada. Então, o domínio da função são todos os números reais menores ou iguais a 2, $latex t \le 2$.
Imagem: Por definição, temos $latex f(t)=\sqrt{{2-t}} \ge 0$.
No gráfico, podemos ver que t não assume valores maiores que 2 e a imagem é maior ou igual a 0:
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
