Os exercícios de multiplicação de números complexos podem ser resolvidos usando o método de distribuição de multiplicação, semelhante ao usado na multiplicação de dois binômios. A diferença é que, quando temos a unidade unitária ao quadrado, i², temos que lembrar que isso é igual a -1.
A seguir, aprenderemos a multiplicar números complexos. Veremos vários exercícios resolvidos para entender como usar o método de multiplicação mencionado.
Como resolver a multiplicação de números complexos?
Multiplicações de números complexos são resolvidas usando um método muito semelhante a quando multiplicamos dois binômios. A única diferença é a introdução da unidade imaginária:
$latex \sqrt{-1}=i$
Algo importante a ter em mente é que, quando elevamos a unidade imaginária ao quadrado, temos:
$latex {{(\sqrt{-1})}^2}={{(i)}^2}$
$latex -1={{i}^2}$
Por exemplo, se tivermos a multiplicação de números complexos $latex z_{1}=a+bi$ e $latex z_{2}=c+di$, podemos obter o seu produto da seguinte forma:
$latex z_{1}z_{2}=(a+bi)(c+di)$
$latex =ac+adi+cbi+bd{{i}^2}$
$latex =ac+(ad+cb)i+bd(-1)$
$latex =ac+(ad+cb)i-bd$
Multiplicação de números complexos – Exercícios resolvidos
O processo de resolução mencionado acima é usado para resolver os seguintes exercícios de multiplicação de números complexos. É recomendável que você tente resolver os exercícios sozinho antes de procurar a solução.
EXERCÍCIO 1
Encontre o produto dos números complexos $latex (4+2i)(2+3i)$.
Solução
Isso é semelhante a multiplicar dois binômios. Expandimos a multiplicação e, em seguida, combinamos termos semelhantes:
$latex (4+2i)(2+3i)$
$$=(4)(2)+(4)(3i)+(2i)(2)+(2i)(3i)$$
$latex =8+12i+4i+6{{i}^2}$
$latex =8+16i+6{{i}^2}$
Agora, temos que substituir $latex {{i}^2}$ por $latex -1$ e combinar termos semelhantes novamente:
$latex =8+16i+6(-1)$
$latex =8+16i-6$
$latex =2+16i$
EXERCÍCIO 2
Qual é o produto de $latex (4-5i)(2-7i)$?
Solução
Temos que expandir a multiplicação e, em seguida, combinar termos semelhantes:
$latex (4-5i)(2-7i)$
$$=(4)(2)+(4)(-7i)+(-5i)(2)+(-5i)(-7i)$$
$latex =8-28i-10i+35{{i}^2}$
$latex =8-38i+35{{i}^2}$
Reconhecemos que $latex {{i}^2}$ é igual a $latex -1$ e combinamos termos semelhantes novamente:
$latex =8-38i+35(-1)$
$latex =8-38i-35$
$latex =-27-38i$
EXERCÍCIO 3
Se tiver-mos $latex z_{1}=6-5i$ e $latex z_{2}=-4+7i$, qual é o resultado de $latex z_{1}z_{2}$?
Solução
Formamos a multiplicação, expandimos e, em seguida, combinamos termos semelhantes:
$latex (6-5i)(-4+7i)$
$$=(6)(-4)+(6)(7i)+(-5i)(-4)+(-5i)(7i)$$
$latex =-24+42i+20i-35{{i}^2}$
$latex =-24+62i-35{{i}^2}$
Reconhecemos que $latex {{i}^2}$ é igual a $latex -1$ e combinamos termos semelhantes novamente:
$latex =-24+62i-35(-1)$
$latex =-24+62i+35$
$latex =11+62i$
EXERCÍCIO 4
Encontre o produto do seguinte número complexo e seu conjugado: $latex 4-3i$.
Solução
O conjugado de um número complexo é encontrado mudando o sinal do componente imaginário. Neste caso, o conjugado de $latex 4-3i$ é $latex 4+3i$. Agora, podemos multiplicá-los para obter o produto:
$latex (4-3i)(4+3i)$
$$=(4)(4)+(4)(3i)+(-3i)(4)+(-3i)(3i)$$
$latex =16+12i-12i-9{{i}^2}$
$latex =16-9{{i}^2}$
Substituindo $latex {{i}^2}$ por $latex -1$ e combinando termos semelhantes, temos:
$latex =16-9(-1)$
$latex =16+9$
$latex =25$
EXERCÍCIO 5
Multiplique o número $latex -1-i$ por ele mesmo.
Solução
Multiplicando o número por si mesmo, temos:
$latex (-1-i)(-1-i)$
$$=(-1)(-1)+(-1)(-i)+(-i)(-1)+(-i)(-i)$$
$latex =1+i+i+{{i}^2}$
$latex =1+2i+{{i}^2}$
Substituindo $latex {{i}^2}$ por $latex -1$ e combinando termos semelhantes, temos:
$latex =1+2i+(-1)$
$latex =2i$
EXERCÍCIO 6
Resolva a multiplicação $latex (3i-5{{i}^2})(5i+4{{i}^2})$.
Solução
Neste caso, temos uma expressão com $latex {{i}^2}$, então podemos começar a simplificar substituindo $latex {{i}^2}$ com $latex -1$. Então, temos:
$latex (3i-5{{i}^2})(5i+4{{i}^2})$
$latex =(3i-5(-1))(5i+4(-1))$
$latex =(3i+5)(5i-4)$
$$=(3i)(5i)+(3i)(-4)+(5)(5i)+(5)(-4)$$
$latex =15{{i}^2}-12i+25i-20$
$latex =15{{i}^2}+13i-20$
Novamente, substituímos$latex {{i}^2}$ por $latex -1$ e combinamos termos semelhantes:
$latex =15(-1)+13i-20$
$latex =-15+13i-20$
$latex =-35+13i$
Multiplicação de números complexos – Exercícios para resolver
Coloque em prática seus conhecimentos sobre multiplicação de números complexos e resolva os seguintes exercícios. Selecione uma resposta e verifique-a para se certificar de que selecionou a correta. Se precisar de ajuda, você pode consultar os exercícios resolvidos acima.
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
