A divisão de números complexos é resolvida multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado do número complexo no denominador. Isso fará com que obtenhamos um número real no denominador e obtenhamos o resultado para a divisão.
A seguir, aprenderemos como dividir números complexos usando seu conjugado. Além disso, veremos vários exercícios resolvidos para examinar a aplicação desse processo.
Como resolver divisões de números complexos?
Para dividir números complexos, temos que começar escrevendo o problema na forma fracionária. Em seguida, devemos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador.
Lembre-se que para encontrar o conjugado do denominador, basta alterar o sinal do componente imaginário. Portanto, o conjugado de $latex a+bi$ é $latex a-bi$.
Portanto, se quisermos dividir o número $latex a+bi$ pelo número $latex c+bi$, formamos a seguinte expressão:
| $latex \frac{a+bi}{c+di}=\frac{a+bi}{c+di}\times \frac{c-di}{c-di}$ |
Resolvemos essa expressão distribuindo a multiplicação no numerador e no denominador. Em seguida, simplificamos as potências de i, especificamente, lembramos que $latex {{i}^2}$ é igual a $latex -1$.
Em seguida, combinamos termos semelhantes para simplificar a expressão obtida e, finalmente, escrevemos a resposta na forma $latex a+bi$.
Divisão de números complexos – Exercícios resolvidos
Os exercícios a seguir usam o processo detalhado acima para resolver as divisões de números complexos. Cada exercício tem sua respectiva solução, mas é recomendável que você tente resolver os exercícios antes de olhar a resposta.
EXERCÍCIO 1
Divida os números complexos $latex (2+4i) \div (1+2i)$.
Solução
Temos que começar escrevendo o problema original em forma de fração:
⇒ $latex \frac{2+4i}{1+2i}$
Agora, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Neste caso, o conjugado do denominador é $latex 1-2i$. Então, temos:
$latex \frac{2+4i}{1+2i}=\frac{2+4i}{1+2i}\times \frac{1-2i}{1-2i}$
Expandimos a multiplicação do numerador e denominador e simplificamos combinando termos semelhantes:
$latex = \frac{2-4i+4i-8{{i}^2}}{1-2i+2i-2{{i}^2}}$
$latex = \frac{2-8{{i}^2}}{1-4{{i}^2}}$
Lembramos que $latex {{i}^2}$ é igual a $latex -1$:
$latex = \frac{2-8(-1)}{1-4(-1)}$
$latex = \frac{10}{5}$
$latex =2$
EXERCÍCIO 2
Divida os números complexos $latex (5+10i) \div (4+3i)$.
Solução
Reescrevemos números complexos em forma fracionária:
⇒ $latex \frac{5+10i}{4+3i}$
Aqui, o conjugado do denominador é $latex 4-3i$. Então, multiplicamos o numerador e denominador por este conjugado:
$latex \frac{5+10i}{4+3i}=\frac{5+10i}{4+3i}\times \frac{4-3i}{4-3i}$
Resolvemos as multiplicações no numerador e denominador e simplificamos:
$latex = \frac{20-15i+40i-30{{i}^2}}{16-12i+12i-9{{i}^2}}$
$latex = \frac{20+25i-30{{i}^2}}{16-9{{i}^2}}$
Lembramos que $latex {{i}^2}$ é igual a $latex -1$:
$latex = \frac{20+25i-30(-1)}{16-9(-1)}$
$latex = \frac{50+25i}{25}$
Já temos a resposta, mas temos que escrever na forma $latex a+bi$. Então, temos:
$latex =\frac{50}{25}+\frac{25}{25}i$
$latex =2+i$
EXERCÍCIO 3
Qual é o resultado da divisão $latex (4-6i) \div (-2-4i)$?
Solução
Temos que escrever a divisão em forma fracionária:
⇒ $latex \frac{4-6i}{-2-4i}$
O conjugado do denominador é $latex -2+4i$. Então, temos:
$latex \frac{4-6i}{-2-4i}=\frac{4-6i}{-2-4i}\times \frac{-2+4i}{-2+4i}$
Agora, resolvemos as multiplicações no numerador e denominador e simplificamos:
$latex = \frac{-8+16i+12i-24{{i}^2}}{4-8i+8i-16{{i}^2}}$
$latex = \frac{-8+28i-24{{i}^2}}{4-16{{i}^2}}$
Lembramos que $latex {{i}^2}$ é igual a $latex -1$:
$latex = \frac{-8+28i-24(-1)}{4-16(-1)}$
$latex = \frac{16+28i}{20}$
Escrevendo na forma $latex a+bi$, temos:
$latex =\frac{16}{20}+\frac{28i}{20}$
$latex =\frac{4}{5}+\frac{7i}{5}$
EXERCÍCIO 4
Qual é o resultado da divisão $latex (-4-4i) \div (-4 + 4i)$?
Solução
A divisão em forma fracionária é:
⇒ $latex \frac{-4-4i}{-4+4i}$
Se multiplicarmos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, que é $latex -4-4i$, temos:
$latex \frac{-4-4i}{-4+4i}=\frac{-4-4i}{-4+4i}\times \frac{-4-4i}{-4-4i}$
Expandimos a multiplicação do numerador e denominador e simplificamos combinando termos semelhantes:
$latex = \frac{16+16i+16i+16{{i}^2}}{16+16i-16i-16{{i}^2}}$
$latex = \frac{16+32i+16{{i}^2}}{16-16{{i}^2}}$
Lembramos que $latex {{i}^2}$ é igual a $latex -1$:
$latex = \frac{16+32i+16(-1)}{16-16(-1)}$
$latex = \frac{32i}{32}$
$latex =i$
EXERCÍCIO 5
Resolva a divisão $latex \frac{10-2i}{- 4+5i}$.
Solução
Neste caso, já temos a divisão escrita na forma fracionária, então começamos multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Nesse caso, o conjugado do denominador é $latex -4-5i$. Então, temos:
$latex \frac{10-2i}{-4+5i}=\frac{10-2i}{-4+5i}\times \frac{-4-5i}{-4-5i}$
Resolvemos as multiplicações no numerador e denominador:
$latex = \frac{-40-50i+8i+10{{i}^2}}{16+20i-20i-25{{i}^2}}$
$latex = \frac{-40-32i+10{{i}^2}}{16-25{{i}^2}}$
Lembramos que $latex {{i}^2}$ é igual a $latex -1$:
$latex = \frac{-40-32i+10(-1)}{16-25(-1)}$
$latex = \frac{-50-32i}{41}$
$latex =-\frac{50}{41}-\frac{32}{41}i$
EXERCÍCIO 6
Resolva a divisão $latex \frac{-4}{1-i}$.
Solução
Aqui já temos uma divisão na forma fracionária, então começamos multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Nesse caso, o conjugado do denominador é $latex 1+i$. Então, temos:
$latex \frac{-4}{1-i}=\frac{-4}{1-i}\times \frac{1+i}{1+i}$
Agora, vamos distribuir as multiplicações e simplificar:
$latex = \frac{-4-4i}{1+i-i-{{i}^2}}$
$latex = \frac{-4-4i}{1-{{i}^2}}$
Lembramos que $latex {{i}^2}$ é igual a $latex -1$:
$latex = \frac{-4-4i}{1+1}$
$latex = \frac{-4-4i}{2}$
$latex =-\frac{4}{2}-\frac{4}{2}i$
$latex =-2-2i$
Divisão de números complexos – Exercícios para resolver
Pratique o que aprendeu sobre a divisão de números complexos com os exercícios a seguir. Se precisar de ajuda com esses exercícios, você pode consultar os exercícios resolvidos acima.
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
