Podemos realizar qualquer operação matemática com números imaginários e complexos. Semelhante a como podemos adicionar, subtrair, multiplicar e dividir esses números, também podemos elevá-los a potências.
A seguir, aprenderemos qual é o resultado de elevar a unidade imaginária a várias potências. Além disso, aprenderemos uma fórmula que nos permitirá elevar qualquer número complexo a diferentes potências.
Potências de números imaginários
Ao elevar os números imaginários para potências incrementais, obtemos o seguinte:
$latex {{i}^0}=1$
$latex {{i}^1}=i$
$latex {{i}^2}=-1$
$latex {{i}^3}=-i$
$latex {{i}^4}=1$
Podemos ver que as potências pares resultam em números reais e as potências ímpares resultam em números imaginários. Existe um padrão de 1, i, -1, –i que se repete quando tomamos as potências de i, começando em $latex {{i}^0}$.
Se quisermos simplificar grandes potências de i, podemos decompor as potências para formar partes menores. Lembrando que $latex {{i}^4}=1$, podemos fatorar $latex {{i}^4}$ que é igual a 1. Podemos fazer isso repetidamente até que tenhamos pequenas potências de i igual ou menor que 3.
Potências de números complexos
Para resolver problemas de potências de números complexos facilmente, temos que usar a forma exponencial de um número complexo. Lembre-se de que a forma exponencial de um número complexo é $latex z=re^{i \theta}$, onde r representa a distância da origem ao número complexo e $latex \theta$ representa o ângulo do número complexo.
Se tivermos um número complexo $latex z = a + bi$, podemos encontrar seu raio com a fórmula:
$latex r=\sqrt{{{a}^2}+{{b}^2}}$
E encontramos seu ângulo com a fórmula:
$latex \tan(\theta)=\frac{b}{a}$
Em seguida, aplicamos qualquer potência n ao número complexo em sua forma polar:
$latex {{z}^n}={{r}^n}{{i}^{in\theta}}$
A expressão pode ser simplificada e escrita na forma $latex a+bi$ usando a fórmula de Euler:
$latex {{e}^{i\theta}}=\cos(\theta)+i~\sin(\theta)$
Potências de números complexos – Exercícios resolvidos
Pratique o que você aprendeu sobre as potências dos números imaginários e complexos com os exercícios a seguir. Cada exercício tem a sua respectiva resposta, mas é recomendável que tente resolver os exercícios sozinho antes de procurar a solução.
EXERCÍCIO 1
Simplifique a expressão $latex {{i}^{58}}$.
Solução
Podemos simplificar isso lembrando que $latex {{i}^4}=1 $. Então, obtemos fatores que têm expoentes divisíveis por 4 e simplificamos:
$latex {{i}^{58}}={{i}^{56}}\times {{i}^2}$
$latex ={{({{i}^{4}})}^{14}}\times {{i}^2}$
$latex ={{1}^{14}}\times {{i}^2}$
$latex ={{i}^2}$
$latex {{i}^{58}}=-1$
EXERCÍCIO 2
Simplifique a expressão $latex {{i}^{91}}$.
Solução
Para simplificar, usamos o fato de que $latex {{i}^4}=1$. Podemos extrair o fator $latex {{i}^3}$ para obter um fator divisível por 4:
$latex {{i}^{91}}={{i}^{88}}\times {{i}^3}$
$latex ={{({{i}^{4}})}^{22}}\times {{i}^3}$
$latex ={{1}^{22}}\times {{i}^3}$
$latex ={{i}^3}$
$latex {{i}^{91}}=-i$
EXERCÍCIO 3
Calcule o resultado de $latex {{(2-3i)}^3}$.
Solução
Como essa é uma potência pequena, podemos resolver isso multiplicando o número complexo por ele mesmo três vezes. Então temos:
$latex {{(2-3i)}^3}=(2-3i)(2-3i)(2-3i)$
$latex =(4-6i-6i+9{{i}^2})(2-3i)$
$latex =(4-12i-9)(2-3i)$
$latex =(-5-12i)(2-3i)$
$latex =-10+15i-24i+36{{i}^2}$
$latex =-10-9i-36$
$latex =-46-9i$
EXERCÍCIO 4
A que $latex {{(4+4i)}^5}$ é igual?
Solução
Temos que começar escrevendo este número em sua forma exponencial. Então, começamos encontrando seu rádio:
$latex r= \sqrt{{{4}^2}+{{4}^2}}$
$latex = \sqrt{16+16}$
$latex = \sqrt{32}$
$latex =4\sqrt{2}$
Agora, encontramos o ângulo:
$latex \tan(\theta)=\frac{3}{3}$
$latex \theta=\tan^{-1}(1)$
$latex \theta=\frac{\pi}{4}$
Portanto, o número em forma exponencial é $latex z=4\sqrt{2}{{e}^{i\frac{\pi}{4}}}$. Portanto, aplicando a potência, temos:
$latex {{(4+4i)}^5}={{(4\sqrt{2})}^5}{{e}^{i\frac{5\pi}{4}}}$
Podemos usar a fórmula de Euler para simplificar a expressão obtida:
$latex =4096\sqrt{2}(\cos(\frac{5\pi}{4})+i~\sin(\frac{5\pi}{4})$
$latex =4096\sqrt{2}(-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i)$
$latex =-4096-4096i$
EXERCÍCIO 5
Resolva a expressão $latex {{(1- \sqrt{3}i)}^6}$.
Solução
Reescrevemos o número complexo em sua forma exponencial, então começamos com seu raio:
$latex r= \sqrt{{{1}^2}+{{(-\sqrt{3})}^2}}$
$latex = \sqrt{1+3}$
$latex = \sqrt{4}$
$latex =2$
Agora, encontramos o ângulo:
$latex \tan(\theta)=\frac{\sqrt{3}}{1}$
$latex \theta=\tan^{-1}(\sqrt{3})$
$latex \theta=\frac{\pi}{3}$
Portanto, o número em forma exponencial é $latex z=2{{e}^{i\frac{\pi}{3}}}$. Portanto, aplicando a potência, temos:
$latex {{(1+\sqrt{3}i)}^6}={{2}^6}{{e}^{i\frac{6\pi}{3}}}$
Podemos usar la fórmula de Euler para simplificar la expresión obtenida:
$latex =64(\cos(2\pi)+i~\sin(2\pi)$
$latex =64(1+0i)$
$latex =64$
EXERCÍCIO 6
Resolva a expressão $latex {{(\sqrt{3} -i)}^6}$.
Solução
Encontramos o raio do número complexo para escrevê-lo em sua forma exponencial:
$latex r= \sqrt{{{(\sqrt{3})}^2}+{{(-1)}^2}}$
$latex = \sqrt{3+1}$
$latex = \sqrt{4}$
$latex =2$
Agora, encontramos o ângulo:
$latex \tan(\theta)=\frac{-1}{\sqrt{3}}$
$latex \theta={{\tan}^{-1}}(\frac{-1}{\sqrt{3}})$
$latex \theta=-\frac{\pi}{6}$
Portanto, o número em forma exponencial é $latex z=2{{e}^{i\frac{-\pi}{6}}}$. Portanto, aplicando a potência, temos:
$latex {{(\sqrt{3}-i)}^6}={{2}^6}{{e}^{-i\frac{6\pi}{6}}}$
Podemos usar a fórmula de Euler para simplificar a expressão obtida:
$latex =64(\cos(-\pi)+i~\sin(-\pi)$
$latex =64(-1+0i)$
$latex =-64$
Potências de números complexos – Exercícios para resolver
Teste seu conhecimento de potências de números complexos para resolver os exercícios a seguir. Selecione uma resposta e clique em “Verificar” para verificar se você selecionou a resposta correta.
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
