A magnitude de um número complexo é igual a sua distância da origem no plano complexo. O processo de encontrar a magnitude de um número complexo é muito semelhante ao processo de encontrar a distância entre dois pontos.
A seguir, aprenderemos como calcular a magnitude de números complexos usando uma fórmula. Além disso, veremos vários exercícios resolvidos para dominar completamente a aplicação da fórmula.
ALGEBRA
Relevante para…
Aprender sobre a magnitude de um número complexo com exercícios.
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Aprender sobre a magnitude de um número complexo com exercícios.
Como calcular a magnitude de um número complexo?
A magnitude de um número complexo pode ser calculada usando um processo semelhante a encontrar a distância entre dois pontos. Lembre-se de que a distância entre dois pontos pode ser encontrada usando a fórmula:
$latex d= \sqrt{{{(x_{2}-x_{1})}^2}+{{(y_{2}-y_{1})}^2}}$
Se quisermos encontrar a distância da origem no plano cartesiano, esta fórmula simplifica para:
$latex d= \sqrt{{{x}^2}+{{y}^2}}$
No plano complexo, o eixo xrepresenta o eixo real e o eixo y representa o eixo imaginário. Se tivermos um número complexo na forma $latex z=a+bi$, a fórmula para a magnitude deste número complexo é:
| $latex |z|=\sqrt{{{a}^2}+{{b}^2}}$ |
Nesta fórmula, a é nosso componente real e b é nosso componente imaginário. Além disso, denotamos a magnitude de um número complexo como $latex |z|$.
Magnitude de números complexos – Exercícios resolvidos
O processo usado para calcular a magnitude dos números complexos mencionados acima é usado para resolver os exercícios a seguir. Cada exercício tem sua respectiva solução, mas é recomendável que você tente resolver os exercícios antes de olhar a resposta.
EXERCÍCIO 1
Qual é a magnitude do número $latex z=3+4i$?
Solução
Simplesmente usamos a fórmula para a magnitude dos números complexos e inserimos os valores de $latex a=3$ e $latex b=4$:
$latex |z|=\sqrt{{{a}^2}+{{b}^2}}$
$latex =\sqrt{{{3}^2}+{{4}^2}}$
$latex =\sqrt{9+16}$
$latex =\sqrt{25}$
$latex |z|=5$
EXERCÍCIO 2
Qual é a magnitude do número $latex z=-5+6i$?
Solução
Temos que usar a fórmula para a magnitude dos números complexos com os valores de $latex a=-5$ e $latex b=6$:
$latex |z|=\sqrt{{{a}^2}+{{b}^2}}$
$latex =\sqrt{{{(-5)}^2}+{{6}^2}}$
$latex =\sqrt{25+36}$
$latex |z|=\sqrt{61}$
EXERCÍCIO 3
Encontre a magnitude de $latex z=-4-7i$.
Solução
Aqui, temos os valores $latex a=-4$ e $latex b=-7$:
$latex |z|=\sqrt{{{a}^2}+{{b}^2}}$
$latex =\sqrt{{{(-4)}^2}+{{(-7)}^2}}$
$latex =\sqrt{16+49}$
$latex |z|=\sqrt{65}$
EXERCÍCIO 4
Encontre a magnitude de $latex z = 6 + 2i$.
Solução
Podemos usar a fórmula para a magnitude dos números complexos e com os valores $latex a=6$ e $latex b=2$:
$latex |z|=\sqrt{{{a}^2}+{{b}^2}}$
$latex =\sqrt{{{6}^2}+{{2}^2}}$
$latex =\sqrt{36+4}$
$latex =\sqrt{40}$
$latex =\sqrt{4\times 10}$
$latex |z|=2\sqrt{10}$
EXERCÍCIO 5
Qual é a magnitude do número $latex z=10-5i$?
Solução
Simplesmente usamos a fórmula para a magnitude dos números complexos e inserimos os valores de $latex a=10$ e $latex b=-5$:
$latex |z|=\sqrt{{{a}^2}+{{b}^2}}$
$latex =\sqrt{{{10}^2}+{{(-5)}^2}}$
$latex =\sqrt{100+25}$
$latex =\sqrt{125}$
$latex =\sqrt{25\times 5}$
$latex |z|=5\sqrt{5}$
Magnitude de números complexos – Exercícios para resolver
Resolva os exercícios a seguir para praticar o que aprendeu sobre a magnitude dos números complexos. Se precisar de ajuda com isso, você pode consultar os exercícios resolvidos acima.
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
