Os binômios em cubos podem ter a forma de uma soma de cubos ou uma diferença de cubos. Esses binômios podem ser facilmente fatorados usando fórmulas gerais. O processo usado para fatorar os dois binômios é semelhante, com uma simples mudança nos sinais da expressão final.
A seguir, revisaremos o processo usado para obter a fatoração de cubos de binômios. Além disso, veremos vários exercícios resolvidos para entender a aplicação deste processo.
Fatore a soma e a diferença de dois cubos
Podemos ter dois tipos de binômios ao cubo, uma diferença ou uma soma. A soma dos cubos é uma expressão com a forma geral $latex {{a}^3}+{{b}^3}$ e a diferença dos cubos é uma expressão com a forma geral $latex {{a}^3}-{{b}^3}$.
Para fatorar binômios ao cubo, podemos seguir os seguintes passos:
Passo 1: Fatore o fator comum dos termos, se existir, para obter uma expressão mais simples. Não devemos esquecer de incluir o fator comum na resposta final.
Passo 2: Temos que reescrever a expressão como uma soma ou diferença de dois cubos perfeitos.
Passo 3: Podemos escrever a resposta usando as seguintes frases:
a) “Escreva o que você vê”
b) “Quadrado – Multiplicar – Quadrado”
c) Se for uma soma de cubos, temos os sinais “Positivo, Negativo, Positivo” e se for uma diferença de cubos, temos os sinais “Negativo, Positivo, Positivo”
Passo 4: Unimos as partes resultantes para obter a expressão fatorada final.
Exercícios de fatoração de binômios ao cubo resolvidos
Os exercícios a seguir para fatorar binômios ao cubo eles aplicam o processo de resolução detalhado acima. É recomendável que você tente resolver os exercícios sozinho antes de procurar a solução.
EXERCÍCIO 1
Fatore o binômio $latex {{x}^3}+8$.
Solução
Passo 1: Não temos nenhum fator comum para levar em consideração, então não podemos simplificar.
Passo 2: Temos que reescrever o problema original como a soma de dois cubos perfeitos:
⇒ $latex {{(x)}^3}+{{(2)}^3}$
Passo 3: a) Se ignorarmos os parênteses e os cubos, vemos a expressão:
$latex x+2$
b) Quadrado ao primeiro termo, x, obtemos $latex {{x}^2}$. Multiplicando os termos x e 2, obtemos $latex 2x$. Quadrando o segundo termo, 2, temos 4.
$latex {{x}^2},~~2x,~~4$
c) Esta é uma soma de binômios ao cubo, então os sinais são “Positivo, Negativo, Positivo”.
Passo 4: A expressão fatorada é:
$latex (x+2)({{x}^2}-2x+4)$
EXERCÍCIO 2
Fatore a expressão $latex {{x}^3}-27$.
Solução
Passo 1: Aqui, também não temos fatores comuns, então não podemos fatorar inicialmente.
Passo 2: Agora, escrevemos o problema original como uma diferença de dois cubos perfeitos:
⇒ $latex {{(x)}^3}-{{(3)}^3}$
Passo 3: a) Se eliminarmos os parênteses e os cubos, vemos a expressão:
$latex x-3$
b) Quadrando o primeiro termo, x, temos $latex {{x}^2}$. Multiplicando os termos x e 3, temos $latex 3x$. Quadrando o segundo termo, 3, temos 9.
$latex {{x}^2},~~3x,~~9$
c) Esta é uma diferença de cubos, então os sinais que temos que usar são “Negativo, Positivo, Positivo”.
Passo 4: A expressão fatorada é:
$latex (x-3)({{x}^2}+3x+9)$
EXERCÍCIO 3
Obtenha a fatoração da soma dos cubos $latex 8{{x}^3}+125$.
Solução
Passo 1: Não podemos fatorar esta expressão inicialmente, pois não há fatores comuns.
Passo 2: Podemos reescrever a expressão como a soma de dois cubos perfeitos:
⇒ $latex {{(2x)}^3}-{{(5)}^3}$
Passo 3: a) Se ignorarmos os parênteses e os cubos, temos a expressão:
$latex 2x-5$
b) Se elevarmos ao quadrado o primeiro termo, 2x, temos $latex 4{{x}^2}$. Se multiplicarmos os termos 2x e 5, temos $latex 10x$. Se elevarmos o segundo termo, 5, temos 25.
$latex 4{{x}^2},~~10x,~~25$
c) Para uma soma de cubos, devemos usar os sinais “Positivo, Negativo, Positivo”.
Passo 4: A expressão fatorada é:
$latex (2x+5)(4{{x}^2}-10x+25)$
EXERCÍCIO 4
Fatore a diferença dos cubos $latex 27{{x}^3}-216{{y}^3}$.
Solução
Passo 1: Não podemos fatorar inicialmente porque não temos fatores comuns .
Passo 2: Escrevemos a expressão como a diferença de dois cubos perfeitos:
⇒ $latex {{(3x)}^3}-{{(6y)}^3}$
Passo 3: a) Ao remover parênteses e cubos, temos a expressão:
$latex 3x-6y$
b) Quadrado o primeiro termo, 3x, temos $latex 9{{x}^2}$. Multiplicando os termos 3x e 6y, obtemos $latex 18xy$. Se elevarmos o segundo termo, 6y, obtemos $latex 36{{y}^2}$.
$latex 9{{x}^2},~~18xy,~~36{{y}^2}$
c) Para uma diferença de cubos, temos os sinais “Negativo, Positivo, Positivo”.
Passo 4: A expressão fatorada final é:
$latex (3x-6y)(9{{x}^2}+18xy+36{{y}^2})$
EXERCÍCIO 5
Facorize a soma dos cubos $latex 54{{x}^3}+16{{y}^3}$.
Solução
Passo 1: Aqui temos um fator comum, 2. Podemos extrair o 2 de ambos os termos:
$latex 2(27{{x}^3}+8{{y}^3})$
Passo 2: Agora, podemos escrever a expressão como a soma de dois cubos perfeitos:
⇒ $latex 2({{(3x)}^3}+{{(2y)}^3})$
Passo 3: a) Se ignorarmos os parênteses e os cubos, temos:
$latex 3x+2y$
b) O primeiro termo, 3x, ao quadrado é igual $latex 9{{x}^2}$. O produto dos termos 3x e 2y é $latex 6xy$. O quadrado do segundo termo, 2y, é $latex 4{{y}^2}$.
$latex 9{{x}^2},~~6xy,~~4{{y}^2}$
c) Para uma soma de cubos, temos os sinais “Positivo, Negativo, Positivo”.
Passo 4: Obtivemos a seguinte fatoração:
$latex 2(3x+2y)(9{{x}^2}-6xy+4{{y}^2})$
EXERCÍCIO 6
Obtenha a fatoração de $latex 8-27{{x}^3}{{y}^3}$.
Solução
Passo 1: Não temos nenhum fator comum nos termos.
Passo 2: Se reescrevermos a expressão como uma diferença de dois cubos perfeitos, temos:
⇒ $latex {{(2)}^3}-{{(3xy)}^3}$
Passo 3: a) Se removermos os parênteses e ignorarmos os cubos, vemos a expressão:
$latex 2-3xy$
b) O primeiro termo, 1, ao quadrado é 8. O produto dos termos 2 e 3xy é $latex 6xy$. O segundo termo, 3xy ao quadrado é $latex 9{{x}^2}{{y}^2}$.
$latex 8,~~6xy,~~9{{x}^2}{{y}^2}$
c) Para uma diferença de cubos, os sinais são “Negativo, Positivo, Positivo”.
Passo 4: A expressão fatorada é:
$latex (2-3xy)(8+6xy+9{{x}^2}{{y}^2})$
Exercícios de fatoração de binômios ao cubo para resolver
Pratique o que você aprendeu sobre a fatoração de binômios ao cubo com os exercícios a seguir. Se precisar de ajuda, você pode consultar os exercícios resolvidos mostrados acima.
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
