Os exercícios de cubos de binômios podem ser resolvidos usando dois métodos. O primeiro método é multiplicar o binômio três vezes e expandir totalmente a expressão. O segundo método é usar uma fórmula padrão que pode simplificar o processo de resolução.
A seguir, veremos um resumo desses dois métodos para resolver cubos de binômios. Além disso, exploraremos vários exercícios resolvidos para dominar totalmente este tópico.
Resumo de cubos de binômios
Lembre-se de que o cubo de um binômio é uma expressão da forma $latex {{(x+y)}^3}$. Esta expressão pode conter coeficientes ou outras variáveis.
Para resolver cubos de binômios, podemos usar dois métodos principais:
Método 1: Podemos reescrever o binômio três vezes como uma multiplicação de binômios e eliminar o expoente. Por exemplo, podemos reescrever $latex {{(x+y)}^3}$, como segue:
$latex (x+y)(x+y)(x+y)$
A seguir, usamos a propriedade distributiva para multiplicar todos os termos e obter uma expressão simplificada.
Método 2: O método 1 pode ser muito tedioso, pois temos que multiplicar cada termo por cada termo. Para facilitar a resolução de cubos de binômios, podemos usar fórmulas padrão para a adição e subtração de cubos.
Soma dos cubos: A soma de um binômio ao cubo é igual ao primeiro termo ao cubo, mais três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo, mais três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo, mais o cubo de o segundo termo:
| $latex {{(a+b)}^3}={{a}^3}+3{{a}^2}b+3a{{b}^2}+{{b}^3}$ |
Diferença de cubos: A diferença de um binômio ao cubo é igual ao primeiro termo ao cubo, menos três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo, mais três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo, menos o cubo de o segundo termo:
| $latex {{(a-b)}^3}={{a}^3}-3{{a}^2}b+3a{{b}^2}-{{b}^3}$ |
Exercícios de cubos de binômios resolvidos
Os exercícios a seguir em cubos de binômios podem ser usados para aprender como aplicar os métodos de resolução mencionados acima. É recomendável que você tente resolver os exercícios sozinho antes de procurar a solução.
EXERCÍCIO 1
Resolva o binômio $latex {{(x+1)}^3}$.
Solução
Método 1: Temos que reescrever o binômio como uma multiplicação:
$latex {{(x+1)}^3}$
⇒ $latex (x+1)(x+1)(x+1)$
Começamos multiplicando os dois primeiros parênteses e depois multiplicamos os restantes parênteses:
$latex (x+1)(x+1)(x+1)$
$latex =({{x}^2}+2x+1)(x+1)$
$latex ={{x}^3}+3{{x}^2}+3x+1$
Método 2: Usando a fórmula para a soma de um binômio ao cubo $latex {{(a+b)}^3}={{a}^3}+3{{a}^2}b+3a{{b}^2}+{{b}^3}$, temos:
⇒ $latex {{x}^3}+3{{x}^2}(1)+3x{{1}^2}+{{1}^3}$
$latex ={{x}^3}+3{{x}^2}+3x+1$
Vemos que obtivemos a mesma resposta usando os dois métodos. No entanto, o primeiro método é geralmente mais tedioso quando temos binômios mais complicados, então usaremos apenas o segundo método para resolver os próximos exercícios.
EXERCÍCIO 2
Encontre o resultado do binômio ao cubo $latex {{(x+5)}^3}$.
Solução
Usando a fórmula para a soma de um binômio ao cubo $latex {{(a+b)}^3}={{a}^3}+3{{a}^2}b+3a{{b}^2}+{{b}^3}$, temos:
⇒ $latex {{x}^3}+3{{x}^2}(5)+3x{{(5)}^2}+{{5}^3}$
$latex ={{x}^3}+15{{x}^2}+75x+125$
Vemos que com a fórmula padrão podemos encontrar mais facilmente a resposta.
EXERCÍCIO 3
Resolva o binômio ao cubo $latex {{(2x-6)}^3}$.
Solução
Neste caso, temos que usar a fórmula para subtrair um cubo do binômio $latex {{(a-b)}^3}={{a}^3}-3{{a}^2}b+3a{{b}^2}-{{b}^3}$. Então, temos:
⇒ $latex {{(2x)}^3}-3{{(2x)}^2}(6)+3(2x){{(6)}^2}-{{6}^3}$
$$=8{{x}^3}-3(4{{x}^2})(6)+3(2x)(36)-216$$
$latex =8{{x}^3}-72{{x}^2}+216x-216$
Encontramos facilmente a resposta usando a fórmula.
EXERCÍCIO 4
Resolva o cubo do binômio $latex {{(3x-2y)}^3}$.
Solução
Temos que usar a fórmula da subtração de um binômio ao cubo $latex {{(a-b)}^3}={{a}^3}-3{{a}^2}b+3a{{b}^2}-{{b}^3}$. Então, temos:
⇒ $${{(3x)}^3}-3{{(3x)}^2}(2y)+3(3x){{(2y)}^2}-{{(2y)}^3}$$
$$=27{{x}^3}-3(9{{x}^2})(2y)+3(3x)(4{{y}^2})-8{{y}^3}$$
$latex =27{{x}^3}-54{{x}^2}y+36x{{y}^2}-8{{y}^3}$
EXERCÍCIO 5
Resolva o cubo do binômio $latex {{(2{{x}^2}+4y)}^3}$.
Solução
Aqui, temos que usar a fórmula para a soma de um binômio ao cubo $latex {{(a+b)}^3}={{a}^3}+3{{a}^2}b+3a{{b}^2}+{{b}^3}$. Então, temos:
⇒ $${{(2{{x}^2})}^3}+3{{(2{{x}^2})}^2}(4y)+3(2{{x}^2}){{(4y)}^2}+{{(4y)}^3}$$
$$=8{{x}^6}+3(4{{x}^4})(4y)+3(2{{x}^2})(16{{y}^2})+64{{x}^3}$$
$latex =8{{x}^6}+48{{x}^4}y+96{{x}^2}{{y}^2}+64{{x}^3}$
Esse binômio continha uma variável quadrada, mas aplicamos a fórmula da soma binomial da mesma forma que nos exercícios anteriores.
Simplesmente usamos a regra de potência de uma potência, que nos diz que quando elevamos uma expressão com uma potência a outra potência, temos que multiplicar os expoentes.
EXERCÍCIO 6
Simplifique a seguinte expressão $latex {{(x + 2y)}^3} + {{(x-2y)}^3}$.
Solução
Podemos usar as fórmulas para adicionar um binômio ao cubo e subtrair um binômio ao cubo separadamente para calcular cada binomial. Então, temos:
⇒ $${{(x)}^3}+3{{(x)}^2}(2y)+3(x){{(2y)}^2}+{{(2y)}^3}$$
$latex ={{x}^3}+3({{x}^2})(2y)+3(x)(4{{y}^2})+8{{y}^3}$
$latex ={{x}^3}+6{{x}^2}y+12x{{y}^2}+8{{y}^3}$
⇒ $${{(x)}^3}-3{{(x)}^2}(2y)+3(x){{(2y)}^2}-{{(2y)}^3}$$
$latex ={{x}^3}-3({{x}^2})(2y)+3(x)(4{{y}^2})-8{{y}^3}$
$latex ={{x}^3}-6{{x}^2}y+12x{{y}^2}-8{{y}^3}$
Agora, podemos adicionar ambas as expressões obtidas e simplificar os termos semelhantes:
$$={{x}^3}+6{{x}^2}y+12x{{y}^2}+8{{y}^3}$ $latex +{{x}^3}-6{{x}^2}y+12x{{y}^2}-8{{y}^3}$$
$latex =2{{x}^3}+24x{{y}^2}$
Exercícios de cubos de binômios para resolver
Use as fórmulas para a soma de um cubo de binômios e a subtração de um cubo de binômios revisado acima para resolver os seguintes exercícios. Se você tiver problemas com esses exercícios, consulte os exercícios resolvidos acima.
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
