Os quadrados de binômios podem ser expandidos usando dois métodos principais. Podemos escrever o binômio duas vezes e fazer a multiplicação ou podemos usar uma fórmula padrão e substituir os valores.
A seguir, veremos um resumo desses dois métodos para resolver quadrados de binômios. Além disso, veremos vários exercícios resolvidos para entender como aplicar esses métodos e dominar totalmente a expansão dos quadrados de binômios.
Resumo de quadrado de binômios
Um quadrado de binômios é uma expressão que tem a forma geral $latex {{(ax+b)}^2}$. Esta expressão pode conter outras variáveis além de x. Por exemplo, a expressão $latex {{(5x + 4y)}^2}$ é um quadrado de um binômio.
Existem dois métodos principais que podem ser usados para resolver o quadrado de binômios:
Primeiro método
O primeiro método é escrever o binômio duas vezes e eliminar o expoente. Em seguida, multiplique os binômios usando a propriedade distributiva ou qualquer outro método. Finalmente, combinamos termos semelhantes para simplificar a expressão resultante.
Segundo método
O segundo método consiste em usar uma fórmula padrão que nos diz que o quadrado de um binômio é igual à soma do quadrado do primeiro termo, duas vezes o produto de ambos os termos, e o quadrado do último termo.
Exercícios de quadrado de binômios resolvidos
Os exercícios a seguir usam ambos os métodos acima para expandir os quadrados de binômios. É recomendável que você tente resolver os exercícios sozinho antes de procurar a solução.
EXERCÍCIO 1
Resolva este binômio $latex {{(2x + 4)}^2}$.
Solução
Método 1: Reescrevemos o binômio da seguinte maneira:
$latex{{(2x+4)}^2}$
⇒ $latex (2x+4)(2x+4)$
Agora, podemos multiplicar usando a propriedade distributiva:
⇒ $latex 2x(2x+4)+4(2x+4)$
$latex =4{{x}^2}+8x+8x+16$
Combinamos termos semelhantes para simplificar:
$latex =4{{x}^2}+16x+16$
Método 2: Usando a fórmula padrão, temos que encontrar o quadrado do primeiro termo, duas vezes o produto de ambos os termos e o quadrado do último termo:
⇒ $latex {{(2x)}^2}+2(2x)(4)+{{4}^2}$
Simplificando, temos:
⇒ $latex 4{{x}^2}+16x+16$
Obtivemos a mesma resposta com os dois métodos, então ambos os métodos são válidos.
EXERCÍCIO 2
Resolva este binômio $latex {{(3x-5)}^2}$.
Solução
Método 1: Eliminamos o expoente e escrevemos o binômio duas vezes:
$latex{{(3x-5)}^2}$
⇒ $latex (3x-5)(3x-5)$
Com a propriedade distributiva, podemos multiplicar e expandir:
⇒ $latex 3x(3x-5)-5(3x-5)$
$latex =9{{x}^2}-15x-15x+25$
Simplificamos combinando termos semelhantes:
$latex =9{{x}^2}-30x+25$
Método 2: Encontramos o quadrado do primeiro termo, duas vezes o produto de ambos os termos e o quadrado do último termo:
⇒ $latex {{(3x)}^2}+2(3x)(-5)+{{(-5)}^2}$
Simplificando, temos:
⇒ $latex 9{{x}^2}-30x+25$
EXERCÍCIO 3
Expanda o quadrado do binômio: $latex {{(-4x+10)}^2}$.
Solução
Método 1: Escrevemos o binômio duas vezes e eliminamos o expoente:
$latex{{(-4x+10)}^2}$
⇒ $latex (-4x+10)(-4x+10)$
Multiplicamos usando a propriedade distributiva:
⇒ $latex -4x(-4x+10)+10(-4x+10)$
$latex =16{{x}^2}-40x-40x+100$
Combinamos termos semelhantes para simplificar:
$latex =16{{x}^2}-80x+100$
Método 2: Para usar este método, encontramos o quadrado do primeiro termo, duas vezes o produto de ambos os termos e o quadrado do último termo:
⇒ $latex {{(-4x)}^2}+2(-4x)(10)+{{10}^2}$
Simplificando, temos:
⇒ $latex 16{{x}^2}-80x+100$
EXERCÍCIO 4
Resolva este quadrado do binômio: $latex {{(5x+2y)}^2}$.
Solução
Método 1: Eliminamos o expoente e reescrevemos o binômio da seguinte maneira:
$latex{{(5x+2y)}^2}$
⇒ $latex (5x+2y)(5x+2y)$
Expandimos e multiplicamos para remover os parênteses:
⇒ $latex 5x(5x+2y)+2y(5x+2y)$
$latex =25{{x}^2}+10xy+10xy+4{{y}^2}$
Simplificando, temos:
$latex =25{{x}^2}+20xy+4{{y}^2}$
Método 2: Para usar a fórmula padrão, encontramos o quadrado do primeiro termo, duas vezes o produto de ambos os termos, e o quadrado do último termo:
⇒ $latex {{(5x)}^2}+2(5x)(2y)+{{(2y)}^2}$
Simplificando, temos:
⇒ $latex 25{{x}^2}+20xy+4{{y}^2}$
EXERCÍCIO 5
Resolva este quadrado do binômio: $latex {{(3{{x}^2}+4y)}^2}$.
Solução
Método 1: Reescrevemos o binômio da seguinte maneira:
$latex{{(3{{x}^2}+4y)}^2}$
⇒ $latex (3{{x}^2}+4y)(3{{x}^2}+4y)$
Agora, multiplicamos usando a propriedade distributiva:
⇒ $latex 3{{x}^2}(3{{x}^2}+4y)+4y(3{{x}^2}+4y)$
$latex =9{{x}^4}+12{{x}^2}y+12{{x}^2}y+16{{y}^2}$
Simplificando, temos:
$latex =9{{x}^4}+24{{x}^2}y+16{{y}^2}$
Método 2: Encontramos o quadrado do primeiro termo, duas vezes o produto de ambos os termos, e o quadrado do último termo para usar a fórmula padrão:
⇒ $latex {{(3{{x}^2})}^2}+2(3{{x}^2})(4y)+{{(4y)}^2}$
Simplificando, temos:
⇒ $latex 9{{x}^4}+24{{x}^2}y+16{{y}^2}$
EXERCÍCIO 6
Resolva o binômio $latex {{(5{{x}^2}-2{{y}^2})}^2}$.
Solução
Método 1: Eliminamos o expoente e escrevemos o binômio duas vezes:
$latex{{(5{{x}^2}-2{{y}^2})}^2}$
⇒ $latex (5{{x}^2}-2{{y}^2})(5{{x}^2}-2{{y}^2})$
Usamos a propriedade distributiva para multiplicar:
⇒ $latex 5{{x}^2}(5{{x}^2}-2{{y}^2})-2{{y}^2}(5{{x}^2}-2{{y}^2})$
$latex =25{{x}^4}-10{{x}^2}{{y}^2}-10{{x}^2}{{y}^2}+4{{y}^4}$
Simplificando, temos:
$latex =25{{x}^4}-20{{x}^2}{{y}^2}-4{{y}^4}$
Método 2: Encontramos o quadrado do primeiro termo, duas vezes o produto de ambos os termos, e o quadrado do último termo para usar a fórmula padrão:
⇒ $latex {{(5{{x}^2})}^2}+2(5{{x}^2})(-2{{y}^2})+{{(-2{{y}^2})}^2}$
Simplificando, temos:
⇒ $latex 25{{x}^4}-20{{x}^2}{{y}^2}+4{{y}^4}$
Exercícios de quadrado de binômios para resolver
Pratique o que aprendeu com os exercícios a seguir. Expanda os quadrados de binômios e escolha uma resposta. Se precisar de ajuda, você pode consultar os exercícios resolvidos acima.
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
