Soma de progressões aritméticas – Exercícios resolvidos

A soma de uma progressão aritmética pode ser encontrada usando duas fórmulas diferentes, dependendo da informação disponível para nós. Geralmente, a informação essencial é o valor do primeiro termo, o número de termos e o último termo ou a diferença comum.

A seguir, resolveremos vários exercícios de soma de progressões aritméticas. Além disso, veremos alguns exercícios práticos nos quais você poderá aplicar o que aprendeu.

ÁLGEBRA
Fórmula para a soma de uma progressão aritmética

Relevante para

Resolver alguns exercícios da soma de progressões aritméticas.

Ver exercícios

ÁLGEBRA
Fórmula para a soma de uma progressão aritmética

Relevante para

Resolver alguns exercícios da soma de progressões aritméticas.

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Fórmulas para a soma de uma progressão aritmética

Progressões aritméticas são progressões em que seus termos são formados a partir do termo anterior pela adição de um certo número chamado diferença comum.

A soma dos primeiros $latex n$ termos de uma progressão aritmética pode ser encontrada com a seguinte fórmula

$$S_{n}=\frac{n}{2}(a+l)$$

onde,

  • $latex a$ é o primeiro termo da progressão.
  • $latex l$ é o último termo.
  • $latex n $ é o número de termos.
Fórmula para a soma de uma progressão aritmética

Além disso, lembrando que qualquer termo de uma progressão aritmética pode ser encontrado usando a fórmula $latex a_{n}=a+(n-1)d$, podemos escrever a fórmula da soma da seguinte forma:

$$S_{n}=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$$

onde,

  • $latex a$ é o primeiro termo.
  • $latex d$ é a diferença comum.
  • $latex n $ é o número de termos.

Demonstração da fórmula da soma das progressões aritméticas

Lembre-se de que cada termo de uma progressão aritmética é obtido adicionando a diferença comum, d, ao termo anterior. Assim, podemos escrever o seguinte:

$$S_{n}=a+[a+d]+…+[a+(n-1)d]$$

Esta é a equação [1]. Agora, escrevemos os termos na ordem inversa, ou seja, da direita para a esquerda.

$$S_{n}=[a+(n-1)d]+[a+(n-2)d]+…+a$$

Esta é a equação [2]. Se somarmos ambas as equações, podemos obter o valor de $latex 2S_{n}$:

$$2S_{n}=(a+[a+(n-1)d])+((a+d)+[a+(n-2)d])+…+([a+(n-1)d]+a)$$

$$2S_{n}=[2a+(n-1)d]+[2a+(n-1)d]+…+[2a+(n-1)d]$$

Vemos que os termos obtidos são iguais, então a soma é igual a um dos termos multiplicado por n (número total de termos).

$$2S_{n}=n[2a+(n-1)d]$$

Finalmente, dividimos a equação inteira por 2 para encontrar $latex S_{n}$:

$$S_{n}=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$$


10 Exercícios resolvidos de somas de progressões aritméticas

EXERCÍCIO 1

Encontre a soma dos 8 primeiros termos de uma progressão aritmética onde o primeiro termo é 4 e o 8º termo é 25.

Solução

EXERCÍCIO 2

O primeiro termo de uma progressão aritmética é 7 e o 15º termo é 63. Encontre a soma dos primeiros 15 termos.

Solução

EXERCÍCIO 3

Encontre a soma dos 9 primeiros termos de uma progressão aritmética onde o primeiro termo é -20 e o 9º termo é -44.

Solução

EXERCÍCIO 4

Encontre a soma dos primeiros 20 termos de uma progressão aritmética começando com 5, 9, 13, 17, …

Solução

EXERCÍCIO 5

Uma progressão aritmética começa com os termos 60, 55, 50, … Encontre a soma dos primeiros 12 termos.

Solução

EXERCÍCIO 6

Encontre a soma dos primeiros 25 termos de uma progressão aritmética que começa com os termos 9, -1, -11, …

Solução

EXERCÍCIO 7

Qual é o resultado da seguinte soma da progressão aritmética?

$$6+8+10+…30$$

Solução

EXERCÍCIO 8

Encontre a soma da seguinte progressão aritmética:

$$9+13+17+…+41$$

Solução

EXERCÍCIO 9

Qual é a soma da seguinte progressão aritmética?

$$62+60+58+…+38$$

Solução

EXERCÍCIO 10

Se o primeiro termo de uma progressão aritmética for 2 e o n-ésimo termo for 32, encontre o valor de n se a soma dos n primeiros termos for 357.

Solução

Exercícios de soma de progressões aritméticas para resolver

Prática de somas de progressões aritméticas
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Qual é o resultado da seguinte soma de uma progressão aritmética? $$1,3+1,6+1,9+…+4,6$$

Escreva a resposta na caixa.

$latex S_{n}=$

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Jefferson Huera Guzman

Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.

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