O primeiro termo de uma progressão aritmética pode ser encontrado usando a fórmula para o termo geral de uma progressão aritmética. Geralmente, precisamos saber o valor da diferença comum e o valor e a posição de um dos termos da progressão.
A seguir, aprenderemos como encontrar o primeiro termo de uma progressão aritmética usando uma fórmula. Em seguida, aplicaremos essa fórmula para resolver alguns exercícios práticos.
ÁLGEBRA
Relevante para…
Aprender a encontrar o primeiro termo de uma progressão aritmética.
ÁLGEBRA
Relevante para…
Aprender a encontrar o primeiro termo de uma progressão aritmética.
Passos para encontrar o primeiro termo de uma progressão aritmética
As progressões aritméticas são caracterizadas em que cada termo é formado pela adição de um valor específico ao termo anterior. O valor adicionado é chamado de diferença comum.
Por exemplo, a progressão 2, 4, 6, 8, 10, …, é formada adicionando 2 a cada termo para obter o próximo. Ou seja, a diferença comum é 2.
A fórmula para encontrar o termo geral de uma progressão aritmética é a seguinte:
$$a_{n}=a+(n-1)d$$
onde,
- $latex a$ é o primeiro termo da progressão.
- $latex d$ é a diferença comum.
- $latex n $ é a posição do termo.
Podemos encontrar o primeiro termo reescrevendo a fórmula da seguinte forma:
$$a=a_{n}-(n-1)d$$
Assim, seguimos os próximos passos:
1. Encontre a diferença em comum.
A diferença comum é encontrada subtraindo qualquer termo da progressão pelo seu termo anterior.
2. Identifique o valor de qualquer termo na progressão e sua posição.
A posição do termo é o valor de $latex n$.
3. Use a fórmula do primeiro termo.
Substitua os valores dos passos 1 e 2 na fórmula $latex a=a_{n}-(n-1)d$.
Exemplos resolvidos de primeiro termo de progressões aritméticas
EXEMPLO 1
Se o termo 5 de uma progressão aritmética for igual a 12 e a diferença comum for igual a 2, encontre o valor do primeiro termo.
Solução
Nesse caso, conhecemos diretamente os valores de um termo e a diferença comum. Assim, podemos observar o seguinte:
- $latex a_{n}=a_{5}=12$
- $latex n=5$
- $latex d=2$
Agora, podemos usar esses valores na fórmula para o primeiro termo de uma progressão aritmética:
$latex a=a_{n}-(n-1)d$
$latex a=12-(5-1)2$
$latex a=12-(4)2$
$latex a=12-8$
$latex a=4$
EXEMPLO 2
Encontre o primeiro termo de uma progressão aritmética onde o termo 7 tem um valor de 20 e a diferença comum é -2.
Solução
Semelhante ao exemplo anterior, conhecemos os valores de um termo e a diferença comum da progressão. Então temos:
- $latex a_{n}=a_{7}=20$
- $latex n=7$
- $latex d=-2$
Neste caso, temos uma diferença comum negativa, mas a fórmula do primeiro termo se aplica em qualquer caso:
$latex a=a_{n}-(n-1)d$
$latex a=20-(7-1)(-2)$
$latex a=20-(6)(-2)$
$latex a=20+12$
$latex a=32$
EXEMPLO 3
Se a diferença comum de uma progressão aritmética for 6 e o 12º termo for igual a 26, encontre o valor do primeiro termo.
Solução
Podemos ver as seguintes informações:
- $latex a_{n}=a_{12}=26$
- $latex n=12$
- $latex d=6$
Então, usando esses valores na fórmula para o primeiro termo, temos:
$latex a=a_{n}-(n-1)d$
$latex a=26-(12-1)6$
$latex a=26-(11)6$
$latex a=26-66$
$latex a=-40$
EXEMPLO 4
Encontre o primeiro termo de uma progressão aritmética onde o termo 6 é igual a 20 e o termo 3 é igual a 11.
Solução
Nesse caso, não conhecemos a diferença comum diretamente. Porém, temos os valores de dois termos diferentes, com suas posições:
- $latex a_{6}=20$
- $latex a_{3}=11$
Podemos encontrar a diferença comum subtraindo o valor do termo 3 do valor do termo 6 e dividindo pela diferença das posições, ou seja, 6-3=3.
$$d=\frac{20-11}{6-3}$$
$$d=\frac{9}{3}=3$$
Agora, usamos a diferença comum para encontrar o valor do primeiro termo (podemos usar o termo $latex a_{6}$ ou $latex a_{3}$):
$latex a=a_{n}-(n-1)d$
$latex a=11-(3-1)3$
$latex a=11-(2)3$
$latex a=11-6$
$latex a=5$
EXEMPLO 5
Uma progressão aritmética tem os termos $latex a_{8}=45$ e $latex a_{4}=25$. Qual é o valor do primeiro termo?
Solução
Semelhante ao exercício anterior, não sabemos a diferença comum, mas sabemos os valores de dois termos da progressão:
- $latex a_{8}=45$
- $latex a_{4}=25$
Assim, encontramos a diferença comum subtraindo os valores dos termos e dividindo pela diferença das posições dos termos:
$$d=\frac{45-25}{8-4}$$
$$d=\frac{20}{4}=5$$
Agora, podemos encontrar o valor do primeiro termo da progressão aritmética:
$latex a=a_{n}-(n-1)d$
$latex a=25-(4-1)5$
$latex a=25-(3)5$
$latex a=25-15$
$latex a=10$
EXEMPLO 6
Encontre o primeiro termo de uma progressão aritmética onde o 25º termo é igual a -100 e o 10º termo é igual a -10.
Solução
Temos os valores dos seguintes termos:
- $latex a_{25}=-100$
- $latex a_{10}=-10$
Assim, encontramos a diferença comum subtraindo os valores dos termos e dividindo pela diferença das posições dos termos:
$$d=\frac{-100-(-10)}{25-10}$$
$$d=\frac{-90}{15}=-6$$
Usando qualquer um dos termos e a diferença comum encontrada, podemos determinar o valor do primeiro termo da progressão:
$latex a=a_{n}-(n-1)d$
$latex a=-10-(10-1)-6$
$latex a=-10-(9)-6$
$latex a=-10+54$
$latex a=44$
Primeiro termo de progressões aritméticas – Exercícios para resolver
Encontre o primeiro termo de uma progressão aritmética onde o termo 7 é igual a 10 e o termo 12 é igual a -25.
Escreva a resposta na caixa.
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
