Os expoentes são maneiras mais simples de escrever multiplicações repetidas. No entanto, mesmo com expoentes, as expressões algébricas podem se tornar longas e tediosas. As regras dos expoentes nos permitem simplificar as expressões algébricas que contêm operações com expoentes. O conhecimento dessas regras de expoentes tornará nosso estudo de álgebra mais produtivo.
A seguir, veremos um resumo das sete regras dos expoentes junto com os exercícios resolvidos para entender o raciocínio usado ao simplificar as expressões algébricas.
ALGEBRA
Relevante para…
Aprender sobre as regras dos expoentes com exercícios resolvidos.
ALGEBRA
Relevante para…
Aprender sobre as regras dos expoentes com exercícios resolvidos.
Resumo de regras de expoentes
As regras dos expoentes nos dizem como resolver equações ou simplificar expressões que contêm expoentes. Expoentes, também conhecidos como potências, são valores que nos dizem quantas vezes devemos multiplicar um número por ele mesmo. Por exemplo, se tivermos $latex {{5}^3}$, isso significa que multiplicamos 5 por ele mesmo 3 vezes:
$latex {{5}^3}= 5 \times 5 \times 5 = 125$
O número que está sendo elevado a um expoente é chamado de base. Nesse caso, a base é 5. O pequeno número é o expoente. Nesse caso, o expoente é 3.
Existem diferentes tipos de expressões exponenciais, que parecem entediantes à primeira vista. No entanto, existem certas estratégias que podem ser usadas para tornar as regras dos expoentes fáceis de seguir.
Existem sete regras de expoentes que nos ajudam a simplificar as expressões exponenciais. Cada regra mostra como resolver diferentes tipos de operações matemáticas, como adição, subtração, multiplicação e divisão de expoentes.
Nas regras a seguir, as letras a e b representam números reais diferentes de zero e m e n representam números inteiros:
1) Regra de zero de expoentes:
2) Regra de expoentes negativos:
3) Regra do produto de expoentes:
4) Regra do quociente de expoentes:
5) Potência de uma potência:
6) Potência de um produto:
7) Potência de um quociente:
Exercícios de regras de expoentes resolvidos
Os exercícios a seguir aplicam as regras dos expoentes para simplificar as expressões algébricas. Tente resolver os exercícios sozinho. Porém, cada exercício possui uma solução detalhada para que você possa acompanhar o raciocínio utilizado em cada problema.
EXERCÍCIO 1
Encontre o resultado de $latex {{8}^{-2}}$.
Solução
Para resolver o expoente negativo, aplicamos a regra dos expoentes negativos, que nos diz que podemos mudar um expoente de negativo para positivo tomando o recíproco de sua base:
$latex 8^{-2}=\frac{1}{{{8}^2}}$
Agora, elevamos ao quadrado 8 para simplificar:
$latex \frac{1}{{{8}^2}}=\frac{1}{64}$
EXERCÍCIO 2
Simplifique a expressão $latex {{({{2}^3})}^{-2}}$.
Solução
Aqui, aplicamos a regra de potência de uma potência, que nos diz que temos que multiplicar os expoentes:
$latex {{({{2}^3})}^{-2}}={{2}^{-6}}$
Novamente, aplicamos a regra dos expoentes negativos para alterar o expoente 6 negativo para 6 positivo:
$latex {{2}^{-6}}=\frac{1}{{{2}^6}}$
Simplificando, temos:
$latex \frac{1}{{{2}^6}}=\frac{1}{64}$
EXERCÍCIO 3
Encontre o resultado de $latex \frac{{{5}^6}}{{{5}^4}}$.
Solução
Aplicamos a regra do quociente para simplificar a divisão de poderes. Então, nós temos a base 4 e subtraímos o expoente do denominador do expoente do numerador:
$latex \frac{{{5}^6}}{{{5}^4}}={{5}^{6-4}}$
$latex ={{5}^2}$
Aplicando o expoente que temos:
$latex {{5}^2}=25$
EXERCÍCIO 4
Encontre o resultado de $latex \frac{{{5}^4}\times {{3}^4}}{{{15}^2}}$.
Solução
Temos bases diferentes no numerador, então não podemos simplificar. No entanto, notamos que a base pode ser reescrita, uma vez que 15 é igual a 5×3:
$latex \frac{{{5}^4}\times {{3}^4}}{{{15}^2}}=\frac{{{5}^4}\times {{3}^4}}{{{(5\times 3)}^2}}$
$latex =\frac{{{5}^4}\times {{3}^4}}{{{5}^2}\times {{3}^2}}$
Agora, aplicamos a regra do quociente tanto para a potência com base 5 quanto para a potência com base 3:
$latex \frac{{{5}^4}\times {{3}^4}}{{{5}^2}\times {{3}^2}}={{5}^{4-2}}\times {{3}^{4-2}}$
$latex ={{5}^2}\times {{3}^2}$
$latex =25\times 9$
$latex =225$
EXERCÍCIO 5
Simplifique a expressão $latex {{\left(\frac{2}{{{3}^2}} \right)}^{-3}} \times \left(\frac{{{2}^3}}{{{3}^2}} \right)$.
Solução
Começamos mudando o expoente negativo para positivo invertendo a fração:
$latex {{\left(\frac{2}{{{3}^2}} \right)}^{-3}} \times \left(\frac{{{2}^3}}{{{3}^2}} \right)={{\left(\frac{{{3}^2}}{2} \right)}^3} \times \left(\frac{{{2}^3}}{{{3}^2}} \right)$
Agora, aplicamos a regra do poder de um poder:
$latex {{\left(\frac{{{3}^2}}{2} \right)}^3} \times \left(\frac{{{2}^3}}{{{3}^2}} \right)=\frac{{{3}^6}}{{{2}^3}} \times \frac{{{2}^3}}{{{3}^2}} $
Podemos reescrever a expressão para aplicar a regra do quociente:
$latex \frac{{{3}^6}}{{{2}^3}} \times \frac{{{2}^3}}{{{3}^2}}=\frac{{{3}^6}}{{{3}^2}} \times \frac{{{2}^3}}{{{2}^3}}$
$latex ={{3}^{6-2}}\times{{2}^{3-3}}$
Simplificando e aplicando a regra dos expoentes zero, temos:
$latex {{3}^{6-2}}\times{{2}^{3-3}}={{3}^4}\times {{2}^0}$
$latex =81\times 1$
$latex =81$
EXERCÍCIO 6
Simplifique a expressão algébrica $$\frac{{{a}^{-3}}{{b}^{2}}}{{{b}^2}{{a}^2}}$$
Solução
Neste exercício, temos as variáveis a e b, mas aplicamos as regras dos expoentes da mesma maneira. Então, começamos com a regra dos expoentes negativos:
$latex \frac{{{a}^{-3}}{{b}^2}}{{{b}^2}{{a}^2}}=\frac{{{b}^2}}{{{b}^2}{{a}^2}{{a}^3}}$
Agora, aplicamos a regra do quociente à variável a e a regra do produto à variável b:
$latex \frac{{{b}^2}}{{{b}^2}{{a}^2}{{a}^3}}=\frac{{{b}^{2-2}}}{{{a}^{2+3}}}$
$latex =\frac{1}{{{a}^5}}$
EXERCÍCIO 7
Simplifique a expressão $latex {{(10{{x}^4})}^{-2}}{{y}^{-1}}$.
Solução
Começamos aplicando a regra dos expoentes negativos. Então, pegamos o recíproco das bases e mudamos os expoentes para positivos:
$latex {{(10{{x}^4})}^{-2}}{{y}^{-1}}=\frac{1}{{{(10{{x}^4})}^2}{{y}^1}}$
Agora, aplicamos a regra do poder de um poder:
$latex \frac{1}{{{(10{{x}^4})}^2}{{y}^1}}=\frac{1}{{{10}^2}{{x}^8}{{y}^1}}$
$latex =\frac{1}{100{{x}^8}y}$
EXERCÍCIO 8
Simplifique a expressão $latex {{({{x}^{-3}}z)}^2}\times {{({{x}^{2}}{{z}^3})}^{-3}}$.
Solução
Começamos aplicando a regra dos expoentes negativos ao lado direito:
$latex {{({{x}^{-3}}z)}^2}\times {{({{x}^{2}}{{z}^3})}^{-3}}=\frac{{{({{x}^{-3}}z)}^2}}{{{({{x}^{2}}{{z}^3})}^3}}$
Eliminamos os parênteses ao aplicar a regra do poder de um poder:
$latex \frac{{{({{x}^{-3}}z)}^2}}{{{({{x}^{2}}{{z}^3})}^3}}=\frac{{{x}^{-6}}{{z}^2}}{{{x}^6}{{z}^9}}$
Aplicamos a regra dos expoentes negativos novamente:
$latex \frac{{{x}^{-6}}{{z}^2}}{{{x}^6}{{z}^9}}=\frac{{{z}^2}}{{{x}^6}{{x}^6}{{z}^9}}$
Agora, aplicamos a regra do quociente para z e a regra do produto para x:
$latex \frac{{{z}^2}}{{{x}^6}{{x}^6}{{z}^9}}=\frac{1}{{{x}^{6+6}}{{z}^{9-2}}}$
$latex =\frac{1}{{{x}^{12}}{{z}^7}}$
Exercícios de regras de expoentes para resolver
Teste seu conhecimento das regras dos expoentes com os exercícios a seguir. Simplifique ou resolva as expressões e selecione a resposta correta. Veja os exercícios resolvidos acima se precisar de ajuda.
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
