A potenciação nos permite escrever multiplicações repetidas de forma compacta. Com a potenciação, podemos simplificar expressões algébricas que podem ser muito longas. Além disso, usando as regras de expoentes, podemos facilitar a resolução de operações que envolvem várias expressões com potências.
A seguir, veremos um resumo das potências junto com as regras para expoentes. Veremos também vários exercícios de potenciação resolvidos para facilitar a compreensão desses tipos de exercícios.
Resumo de potenciação
Uma potência é uma expressão que tem a seguinte forma:
$latex {{b}^n}=b \times b … b \times b$
Isso representa o resultado da multiplicação da base, b, por si mesma tantas vezes quanto o expoente, n, indica.
Por exemplo, $latex {{2}^4} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$ (a base é 2 e o expoente é 4).
Podemos ter expressões mais complexas que combinam diferentes operações com poderes. A seguir estão as regras de expoentes, que nos dizem como resolver operações com potências. As letras a e b representam números reais diferentes de zero e as letras m e n representam números inteiros:
1) Regra de zero de potenciação:
2) Regra de expoentes negativos:
3) Regra do produto de potenciação:
4) Regra do quociente de potenciação:
5) Potência de uma potência:
6) Potência de um produto:
7) Potência de um quociente:
Exercícios de potenciação resolvidos
Os exercícios de potenciação a seguir têm suas respectivas soluções. A solução é detalhada e indica o processo e raciocínio utilizados para obter a resposta. Recomenda-se que você tente resolver os exercícios sozinho antes de examinar a resposta.
EXERCÍCIO 1
Simplifique a expressão $latex 5^{-2}$.
Solução
Aqui temos um expoente negativo, então temos que começar convertendo esse expoente em positivo. Então, aplicando a regra dos expoentes negativos, temos que pegar o recíproco da base e mudar o expoente de negativo para positivo:
$latex 5^{-2}=\frac{1}{5^2}$
Agora, aplicamos o expoente a 5 para simplificar:
$latex \frac{1}{{{5}^2}}=\frac{1}{25}$
EXERCÍCIO 2
Simplifique a expressão $latex {{({{3}^2})}^{-2}}$.
Solução
Neste caso, temos que aplicar a regra de potência de uma potência, onde multiplicamos os expoentes:
$latex {{({{3}^2})}^{-2}}={{3}^{-4}}$
Semelhante ao exercício anterior, aplicamos a regra dos expoentes negativos para alterar o expoente de 4 negativo para 4 positivo:
$latex {{3}^{-4}}=\frac{1}{{{3}^4}}$
Aplicando o expoente, temos:
$latex \frac{1}{{{3}^4}}=\frac{1}{81}$
EXERCÍCIO 3
Simplifique a expressão $latex \frac{{{4}^5}}{{{4}^3}}$.
Solução
Temos uma divisão de potências com a mesma base. Então, usamos a regra do quociente. Esta regra nos diz que subtraímos o expoente do denominador do expoente do numerador:
$latex \frac{{{4}^5}}{{{4}^3}}={{4}^{5-3}}$
$latex ={{4}^2}$
Aplicando o expoente, temos:
$latex {{4}^2}=16$
EXERCÍCIO 4
Simplifique a expressão $latex \frac{{{4}^5}\times {{3}^5}}{{{12}^3}}$.
Solução
No numerador temos uma multiplicação de potências, mas não podemos simplificar porque a base não é a mesma. No entanto, podemos reescrever o denominador reconhecendo que 12 é igual a 4×3:
$latex \frac{{{4}^5}\times {{3}^5}}{{{12}^3}}=\frac{{{4}^5}\times {{3}^5}}{{{(4\times3)}^3}}$
$latex =\frac{{{4}^5}\times {{3}^5}}{{{4}^3}\times {{3}^3}}$
Agora, podemos aplicar a regra do quociente às potências de base 3 e potências de base 4.:
$latex \frac{{{4}^5}\times {{3}^5}}{{{4}^3}\times {{3}^3}}={{4}^{5-3}}\times {{3}^{5-3}}$
$latex ={{4}^2}\times {{3}^2}$
$latex =16\times 9$
$latex =144$
EXERCÍCIO 5
Simplifique a expressão $latex {{\left(\frac{4}{{{5}^2}} \right)}^{-2}} \times \left(\frac{{{4}^2}}{{{5}^3}} \right)$.
Solução
Primeiro, podemos começar mudando o expoente negativo para positivo, invertendo a fração:
$latex {{\left(\frac{4}{{{5}^2}} \right)}^{-2}} \times \left(\frac{{{4}^2}}{{{5}^3}} \right)={{\left(\frac{{{5}^2}}{4} \right)}^2} \times \left(\frac{{{4}^2}}{{{5}^3}} \right)$
Agora, podemos aplicar a regra de potência de uma potência:
$latex {{\left(\frac{{{5}^2}}{4} \right)}^2} \times \left(\frac{{{4}^2}}{{{5}^3}} \right)=\frac{{{5}^4}}{{{4}^2}} \times \frac{{{4}^2}}{{{5}^3}} $
Podemos reescrever como segue e aplicar a regra do quociente:
$latex \frac{{{5}^4}}{{{4}^2}} \times \frac{{{4}^2}}{{{5}^3}}=\frac{{{5}^4}}{{{5}^3}} \times \frac{{{4}^2}}{{{4}^2}}$
$latex ={{5}^{4-3}}\times{{4}^{2-2}}$
Simplificando e aplicando a regra de zero dos expoentes, temos:
$latex {{5}^{4-3}}\times{{4}^{2-2}}={{5}^1}\times {{4}^0}$
$latex =5\times 1$
$latex =5$
EXERCÍCIO 6
Simplifique a expressão $latex \frac{{{x}^{-3}}{{y}^{2}}}{{{y}^2}{{x}^2}}$.
Solução
Neste caso, temos as variáveis x e y, mas as regras dos expoentes são aplicadas da mesma forma. Então, começamos com a regra dos expoentes negativos:
$latex \frac{{{x}^{-3}}{{y}^2}}{{{y}^2}{{x}^2}}=\frac{{{y}^2}}{{{y}^2}{{x}^2}{{x}^3}}$
Agora, aplicamos a regra de quociente à variável y e a regra do produto à variável x:
$latex \frac{{{y}^2}}{{{y}^2}{{x}^2}{{x}^3}}=\frac{{{y}^{2-2}}}{{{x}^{2+3}}}$
$latex =\frac{1}{{{x}^5}}$
EXERCÍCIO 7
Simplifique a expressão $latex {{(7{{a}^3})}^{-2}}{{b}^{-1}}$.
Solução
Aqui, podemos começar com os expoentes negativos. Então, pegamos o recíproco das bases e mudamos os expoentes para positivos:
$latex {{(7{{a}^3})}^{-2}}{{b}^{-1}}=\frac{1}{{{(7{{a}^3})}^2}{{b}^1}}$
Agora, nós aplicamos a regra de potência de uma potência:
$latex \frac{1}{{{(7{{a}^3})}^2}{{b}^1}}=\frac{1}{{{7}^2}{{a}^6}{{b}^1}}$
$latex =\frac{1}{49{{a}^6}b}$
EXERCÍCIO 8
Simplifique a expressão $latex {{({{b}^{-3}}c)}^2}\times {{({{b}^{2}}{{c}^3})}^{-3}}$.
Solução
Começamos com o expoente negativo à direita:
$latex {{({{b}^{-3}}c)}^2}\times {{({{b}^{2}}{{c}^3})}^{-3}}=\frac{{{({{b}^{-3}}c)}^2}}{{{({{b}^{2}}{{c}^3})}^3}}$
Agora, aplicamos a regra de potência de uma potência para remover os parênteses:
$latex \frac{{{({{b}^{-3}}c)}^2}}{{{({{b}^{2}}{{c}^3})}^3}}=\frac{{{b}^{-6}}{{c}^2}}{{{b}^6}{{c}^9}}$
Novamente, aplicamos a regra dos expoentes negativos:
$latex \frac{{{b}^{-6}}{{c}^2}}{{{b}^6}{{c}^9}}=\frac{{{c}^2}}{{{b}^6}{{b}^6}{{c}^9}}$
Agora, aplicamos a regra do quociente para c e a regra do produto para b:
$latex \frac{{{c}^2}}{{{b}^6}{{b}^6}{{c}^9}}=\frac{1}{{{b}^{6+6}}{{c}^{9-2}}}$
$latex =\frac{1}{{{b}^{12}}{{c}^7}}$
Exercícios de potenciação para resolver
Aplique o que você aprendeu sobre potências e as regras dos expoentes com os exercícios a seguir. Resolva os problemas e escolha uma resposta. Verifique sua resposta para verificar se escolheu a resposta correta.
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
