Os exercícios de multiplicação de polinômios podem ser resolvidos usando a propriedade distributiva e multiplicando cada termo do primeiro polinômio por cada termo do segundo polinômio. Cada vez que multiplicamos polinômios, obtemos um polinômio com um grau mais alto.
A seguir, veremos um resumo da multiplicação de polinômios. Além disso, exploraremos vários exercícios de multiplicação de polinômios resolvidos para entender completamente o processo usado para obter a solução.
Resumo de multiplicação de polinômios
A multiplicação polinomial pode ser um pouco mais complicada do que a adição ou subtração polinomial. Temos que usar a propriedade distributiva para multiplicar cada termo no primeiro polinômio por cada termo no segundo polinômio. Lembre-se de que o seguinte é a propriedade distributiva:
O número ou expressão algébrica deve ser distribuído para cada termo do polinômio. Por exemplo, podemos distribuir 3 em $latex 3(x+5)$ para obter a expressão equivalente $latex 3x+15$.
O polinômio resultante é simplificado adicionando ou subtraindo termos semelhantes. Cada vez que multiplicamos polinômios, sempre obtemos um polinômio com um grau mais alto.
Então, para multiplicar polinômios, simplesmente seguimos dois passos:
Passo 1: Use a propriedade distributiva para multiplicar cada termo no primeiro polinômio por cada termo no segundo polinômio.
Passo 2: Simplificamos combinando termos semelhantes.
Exercícios de multiplicação de polinômios resolvidos
Os exercícios a seguir têm suas respectivas soluções para entender o processo utilizado para se chegar à resposta. É aconselhável tentar resolver os exercícios sozinho antes de ver a resposta.
EXERCÍCIO 1
Multiplique o polinômio $latex 2x+3y-5$ por $latex 2{{x}^2}$.
Solução
Multiplicamos cada termo do polinômio $latex 2x+3y-5$ pelo monômio $latex 2{{x}^2}$:
⇒ $latex 2{{x}^2}(2x+3y-5)$
$$=(2{{x}^2})(2x)+(2{{x}^2})(3y)+(2{{x}^2})(-5)$$
$latex =4{{x}^3}+6{{x}^2}y-10x^2$
Nesse caso, não temos termos semelhantes, portanto, não podemos simplificar.
EXERCÍCIO 2
Multiplique o polinômio $latex 2x+4y-5z$ por $latex -4x$.
Solução
Multiplicamos cada termo do polinômio pelo monômio:
⇒ $latex -4x(2x+4y-5z)$
$$=-(4x)(2x)-(4x)(4y)-(4x)(-5z)$$
$latex =-8{{x}^2}-16xy+20xz$
Neste caso, também não temos termos semelhantes, portanto, não podemos simplificar.
EXERCÍCIO 3
Multiplique $latex 5{{p}^3} -6pq +4{{q}^2}$ por $latex 3pq$.
Solução
Temos que aplicar a propriedade distributiva para multiplicar o monômio por cada um dos termos do polinômio:
⇒ $latex 3pq(5{{p}^3}-6pq+4{{q}^2})$
$latex =3pq(5{{p}^3})+3pq(-6pq)+3pq(4{{q}^2})$
$latex =15{{p}^4}q-18{{p}^2}{{q}^2}+12p{{q}^3}$
EXERCÍCIO 4
Multiplique os polinômios $latex (x+2)$ e $latex ({{x}^2}+5x+2)$.
Solução
Aqui, temos um binômio que multiplica um trinômio. Temos que multiplicar cada termo do binômio por cada termo do trinômio. Então, podemos começar separando o binômio:
⇒ $latex (x+2)({{x}^2}+5x+2)$
$latex =x({{x}^2}+5x+2)+2({{x}^2}+5x+2)$
Agora, aplicamos a propriedade distributiva duas vezes:
$latex ={{x}^3}+5{{x}^2}+2x+2{{x}^2}+10x+4$
Nesse caso, temos termos semelhantes, então os combinamos para simplificar para o polinômio:
$latex ={{x}^3}+7{{x}^2}+12x+4$
EXERCÍCIO 5
Multiplique $latex (2{{x}^2} -4)$ por $latex (-3{{x}^2}+4x-10)$.
Solução
Semelhante ao exercício anterior, temos que separar o binômio para que cada termo multiplique o trinômio:
⇒ $latex (2{{x}^2}-4)(-3{{x}^2}+4x-10)$
$$=2{{x}^2}(-3{{x}^2}+4x-10)-4(-3{{x}^2}+4x-10))$$
Agora, aplicamos a propriedade distributiva de forma que cada termo do binômio seja multiplicado por cada termo do trinômio:
$$=(2{{x}^2})(-3{{x}^2})+(2{{x}^2})(4x)+(2{{x}^2})(-10) -4(-3{{x}^2})-4(4x)-4(-10)$$
$$=-6{{x}^4}+8{{x}^3}-20{{x}^2}+12{{x}^2}-16x+40$$
Podemos combinar termos semelhantes para simplificar:
$$=-6{{x}^4}+8{{x}^3}-8{{x}^2}-16x+40$$
EXERCÍCIO 6
Multiplique os polinômios $latex (2x+5y)$ e $latex (3{{x}^2}+5xy+4{{y}^2})$.
Solução
Separamos o binômio para multiplicá-lo pelo trinômio:
⇒ $latex (2x+5y)(3{{x}^2}+5xy+10{{y}^2})$
$$=2x(3{{x}^2}+5xy+10{{y}^2})+5y(3{{x}^2}+5xy+10{{y}^2})$$
Agora, multiplicamos cada termo usando a propriedade distributiva:
$$=(2x)(3{{x}^2})+(2x)(5xy)+(x)(10{{y}^2})+(5y)(3{{x}^2}) +(5y)(5xy)+(5y)(10{{y}^2})$$
$$=6{{x}^3}+10{{x}^2}y+10x{{y}^2}+15{{x}^2}y+25x{{y}^2}+50{{y}^3}$$
Podemos combinar termos semelhantes para simplificar:
$$=6{{x}^3}+25{{x}^2}y+35x{{y}^2}+50{{y}^3}$$
Calculadora de Multiplicação Polinomial
Exercícios de multiplicação de polinômios para resolver
Coloque em prática o que você aprendeu com os seguintes exercícios de multiplicação polinomial. Resolva os exercícios, escolha sua resposta e verifique se você selecionou a correta.
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
