Funções polinomiais são funções que possuem apenas expoentes inteiros não negativos da variável independente. Alguns exemplos de funções polinomiais são a função linear, a função quadrática e a função cúbica. Os gráficos dessas funções variam dependendo do grau da função.
A seguir, veremos um resumo sobre as funções polinomiais juntamente com suas principais características. Além disso, veremos vários exercícios resolvidos para aprender sobre suas características e suas aplicações.
Resumo de funções polinomiais
Uma função polinomial é uma função quadrática, cúbica, quártica, entre outras, que só tem potências inteiras não negativas de x. Um polinômio de grau n é uma função que tem a forma geral:
$$f(x)=a_{n}{{x}^n}+a_{n-1}{{x}^{n-1}}+…+a_{2}{{x}^2}+a_{1}x+a_{0}$$
onde, os coeficientes a são todos números reais. Embora a forma geral pareça muito elaborada, os exemplos particulares são mais simples. Por exemplo,
$latex f(x)=2{{x}^3}+4{{x}^2}+2x$
é uma função polinomial de grau 3, pois 3 é a maior potência da função. E a função:
$$f(x)=-4{{x}^5}+2{{x}^4}+3{{x}^2}+6$$
é uma função polinomial de grau 5, pois 5 é a maior potência da função.
Raízes de funções polinomiais
Quando temos $latex (x-a)(x-b)=0$, sabemos que a e b são as raízes da função $latex f(x)=(x-a)(x-b)$. Portanto, podemos encontrar as raízes polinomiais formando uma equação, definindo a parte polinomial da função igual a zero e fatorando ou resolvendo para x.
Também é possível usar o oposto disso. Por exemplo, se temos aeb como raízes, sabemos que a função polinomial com essas raízes deve ser $latex f(x)=(x-a)(x-b)$, ou um múltiplo disso. Se $latex x=3$ e $latex x=-4$ são as raízes da função polinomial, então essa função deve ser $latex f(x)=(x-3)(x+4)$, ou um múltiplo constante disso.
Exercícios de funções polinomiais resolvidos
Os exercícios a seguir sobre funções polinomiais podem ser usados para aprender sobre as aplicações e problemas mais comuns que podem ser encontrados com essas funções.
EXERCÍCIO 1
A função $latex f(x)=-2+3{{x}^2}+2{{x}^3}$ é uma função polinomial?
Solução
Podemos ver que a função $latex f(x)=-2+3{{x}^2}+2{{x}^3}$ possui apenas variáveis com expoentes inteiros positivos, portanto, esta função é polinomial.
EXERCÍCIO 2
A função $latex f(x)=-2{{x}^3}+5{{x}^2}+\sqrt{x}$ é uma função polinomial?
Solução
Levando em consideração que os radicais podem ser escritos como potências fracionárias, podemos escrever a função $latex f(x)=-2{{x}^3}+5{{x}^2}+\sqrt{x}$ como:
$latex f(x)=-2{{x}^3}+5{{x}^2}+{{x}^{\frac{1}{2}}}$
Vemos que nem todos os expoentes da variável são inteiros positivos. Portanto, esta função não é uma função exponencial.
EXERCÍCIO 3
Escreva uma função polinomial que tenha raízes 2, 3, 5, 7.
Solução
Quando temos um polinômio escrito na forma $latex (x-a)(x-b)=0$, sabemos que suas raízes são a e b. Portanto, podemos encontrar um polinômio fatorado conhecendo essas raízes. Neste caso, as raízes são 2, 3, 5 e 7, então temos:
$latex f(x)=(x-2)(x-3)(x-5)(x-7)$
Isso significa que a função polinomial que tem as raízes fornecidas é $$f(x)=(x-2)(x-3)(x-5)(x-7)$$ ou um múltiplo deste polinômio. Por exemplo, $$f(x)=2(x-2)(x-3)(x-5)(x-7)$$ e $$f(x)=-5(x-2)(x-3)(x-5)(x-7)$$ também são funções polinomiais que têm as raízes fornecidas.
EXERCÍCIO 4
Encontre uma função polinomial que tenha raízes -4, -2, 2, 4.
Solução
Aqui, temos as raízes -4, -2, 2, 4, então a função polinomial que contém essas raízes é:
$$f(x)=(x+4)(x+2)(x-2)(x-4)$$
Então, a função polinomial é $$f(x)=(x+4)(x+2)(x-2)(x-4)$$ ou um múltiplo desta função.
Devemos sempre lembrar de atribuir corretamente os sinais às constantes de cada fator. Por exemplo, se a raiz é -4, o fator é $latex (x+4)$ e se a raiz for 4, o fator é $latex (x-4)$.
EXERCÍCIO 5
Escreva uma função polinomial que tenha raízes -5, -2, 1, 5, 6.
Solução
Semelhante aos exercícios anteriores, simplesmente formamos fatores com as raízes fornecidas. Então, temos:
$$ f(x)=(x+5)(x+2)(x-1)(x-5)(x-6)$$
Isso significa que a função polinomial que tem as raízes -5, -2, 1, 5, 6 é a função $$f(x)=(x+5)(x+2)(x-1)(x-5)(x-6)$$ ou um múltiplo desta função como $$f(x)=4(x+5)(x+2)(x-1)(x-5)(x-6)$$ ou $$f(x)=-3(x+5)(x+2)(x-1)(x-5)(x-6)$$.
Exercícios de funções polinomiais para resolver
Use os exercícios a seguir para praticar o que aprendeu sobre funções polinomiais. Selecione uma resposta e verifique se escolheu a correta.
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
