Exercícios de Funções Irracionais Resolvidos e para Resolver

Funções irracionais são geralmente consideradas como funções que contêm o sinal radical. Por exemplo, funções que contêm raízes quadradas, raízes cúbicas ou outras raízes são consideradas funções irracionais.

A seguir, veremos um resumo das funções irracionais junto com as características mais importantes. Além disso, exploraremos vários exercícios resolvidos para aprender como usar essas funções.

ALGEBRA

Relevante para…

Aprender sobre funções irracionais com exercícios.

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Resumo de funções irracionais

Não existe uma definição rigorosa de funções irracionais. Podemos dizer que uma função irracional é uma função que não pode ser escrita como o quociente de dois polinômios, mas essa definição não é comumente usada.

Geralmente, a definição mais usada é que uma função irracional é uma função que inclui variáveis nos radicais. Portanto, a forma fundamental de uma função irracional é:

$latex \sqrt[n]{g(x)}$

onde $latex g(x)$ é uma função racional.

Se o índice n do radical for ímpar, é possível calcular o domínio de todos os números reais.
Se o índice n do radical for par, precisamos que $latex g(x)$ seja positivo ou zero, pois as raízes pares de um número negativo não são reais.

O seguinte é uma representação gráfica da função irracional $latex \sqrt{5-x}$:

Exercícios de funções irracionais resolvidos

En los siguientes ejercicios, podemos mirar cómo trabajar con las funciones irracionales. Estas funciones suelen ser un poco más difíciles de manipular, pero es recomendable que intentes resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la respuesta.

EXERCÍCIO 1

Se tivermos $latex f(x)=\sqrt{x-6}$, calcule $latex f(10)$.

Solução

Para avaliar uma função, simplesmente temos que usar o valor de entrada fornecido:

$latex f(10)=\sqrt{10-6}$

$latex =\sqrt{4}$

$latex =2$

EXERCÍCIO 2

Se tivermos $latex f(x)=- \sqrt{5-x}$, calcule $latex f(2)$.

Solução

Novamente, simplesmente temos que usar o valor de entrada fornecido:

$latex f(2)=-\sqrt{5-2}$

$latex =-\sqrt{3}$

$latex \approx -1.732$

EXERCÍCIO 3

Represente graficamente a função $latex f(x) = \sqrt{{2-x}}$.

Solução

Devemos começar identificando o domínio para saber para quais valores de x estamos restritos. Sabemos que não é possível ter números negativos dentro de raízes quadradas. Por exemplo, se tivéssemos $latex x=4$, obteríamos o seguinte:

$latex f\left( x \right)=\sqrt{{2-4}}=\sqrt{{-2}}$

Podemos encontrar o domínio tomando a expressão dentro do radical e formando uma desigualdade com “igual ou maior que zero” e resolvendo para x:

$latex 2-x\ge 0$

$latex 2\ge x$

$latex x\le 2$

Portanto, não devemos escolher nenhum valor de x que seja maior que 2 para a tabela de valores que iremos formar. Formando uma tabela com vários valores x, temos:

tabela de valores da função irracional 1

Agora, podemos representar graficamente esses pontos no plano cartesiano:

Desenhamos uma curva que passa por esses pontos sem estender o gráfico à direita de $latex x=2$:

gráfico de função irracional com pontos 1

Não devemos desenhar linhas retas, pois essas funções produzem curvas. Recomenda-se usar valores x separados uns dos outros para obter melhores comparações.

EXERCÍCIO 4

Encontre o gráfico da função $latex f(x)=-\sqrt{{2x-3}}$.

Solução

Novamente, temos que começar encontrando o domínio da função, então formamos uma desigualdade para obter valores não negativos na expressão dentro do radical

$latex 2x-3\ge 0$

$latex 2x\ge 3$

$latex x\ge \frac{3}{2}$

O primeiro ponto no gráfico estará em $latex x=\frac{3}{2}$, portanto, começaremos a partir daí e obteremos valores maiores de

tabela de valores da função irracional 2

Depois de representar graficamente os pontos e desenhar a curva que passa por esses pontos, obtemos o seguinte gráfico:

gráfico de função irracional com pontos 2

EXERCÍCIO 5

Represente graficamente a função $latex f(x)=2\sqrt{{3x+2}}-1$.

Solução

Formamos uma desigualdade com a expressão dentro do radical para encontrar o domínio da função:

$latex 3x+2\ge 0$

$latex 3x\ge -2$

$latex x\ge \frac{-2}{3}$

Começamos com o ponto $latex x= \frac{-2}{3}$, tomamos vários valores de x para obter pontos que estão localizados na curva:

tabela de valores da função irracional 3

Traçando os pontos no plano cartesiano e desenhando a curva, obtemos o seguinte gráfico:

gráfico de função irracional com pontos 3

O gráfico cresce para a direita indefinidamente, no entanto, o domínio está restrito a $latex x \ge \frac{-2}{3}$, portanto, não temos mais valores à esquerda e o gráfico começa no ponto ($latex \frac{-2}{3}, -1$).