Uma função inversa é uma função que irá reverter o efeito produzido pela função original. Essas funções têm a principal característica de serem um reflexo da função original em relação à reta y = x. As coordenadas da função inversa são as mesmas da função original, mas os valores de x e y são trocados.
Veremos uma visão geral das funções inversas junto com o processo usado para encontrar a inversa de uma função. Além disso, veremos vários exercícios resolvidos para entender a aplicação deste processo.
Resumo de funções inversas
Funções inversas são funções que invertem o efeito da função original. O inverso de uma função tem os mesmos pontos que a função original, exceto que os valores de x e y são trocados. Por exemplo, se a função original contém os pontos (1, 2) e (-3, -5), a função inversa conterá os pontos (2, 1) e (-5, -3).
O inverso de $latex f(x)$ é denotado por $latex {{f}^{-1}}(x)$. Observe que na notação para inversos, o “-1” não é um expoente, apesar de parecer um. Portanto, temos que lembrar que:
$latex {{f}^{- 1}}(x)\neq \frac{1}{f(x)}$
Encontrando o inverso de uma função
Dada a função $latex f(x)$, podemos encontrar a função inversa $latex {{f}^{- 1}}(x)$ seguindo estos passos:
Passo 1: Primeiro, substituímos $latex f(x)$ por y. Isso nos ajuda a facilitar o resto do processo.
Passo 2: Substituímos cada x por um y e cada y por um x.
Passo 3: Resolvemos a equação obtida no passo 2 para y.
Passo 4: Substituímos y por $latex {{f}^{-1}}$, pois esta é a função inversa.
Exercícios de funções inversas resolvidos
O processo para encontrar funções inversas é aplicado para resolver os exercícios a seguir. Cada exercício tem sua solução passo a passo para aprender como encontrar funções inversas. Recomenda-se tentar resolver os exercícios primeiro, antes de olhar para a solução.
EXERCÍCIO 1
Encontre a função inversa de $latex f(x)=2x-3$.
Solução
Passo 1: Substituímos $latex f(x)$ por y:
$latex f(x)=2x-3$
$latex y=2x-3$
Passo 2: Trocamos as variáveis x e y:
$latex x=2y-3$
Passo 3: Resolvemos a equação obtida para y:
$latex x=2y-3$
$latex x+3=2y$
$latex \frac{x+3}{2}=y$
Passo 4: Substituímos a y por $latex {{f}^{-1}}(x)$:
$latex {{f}^{-1}}(x)=\frac{x+3}{2}$
EXERCÍCIO 2
Se tivermos a função $latex f(x)=3x+4$, encontre $latex {{f}^{- 1}}(x)$.
Solução
Passo 1: Começamos substituindo $latex f(x)$ por y para facilitar a resolução:
$latex f(x)=3x+4$
$latex y=3x+4$
Passo 2: Substituímos x por y e y por x:
$latex x=3y+4$
Passo 3: Isolamos o y na equação do passo 2:
$latex x=3y+4$
$latex x-4=3y$
$latex \frac{x-4}{3}=y$
Passo 4: Substituímos y por $latex {{f}^{-1}}(x)$:
$latex {{f}^{-1}}(x)=\frac{x-4}{3}$
EXERCÍCIO 3
Qual é a função inversa de $latex f(x)= \frac{x+4}{2x-5}$?
Solução
Passo 1: Temos que substituir $latex f(x)$ por y para facilitar o processo de resolução:
$latex f(x)=\frac{x+4}{2x-5}$
$latex y=\frac{x+4}{2x-5}$
Passo 2: Trocamos as variáveis x e y:
$latex x=\frac{y+4}{2y-5}$
Passo 3: Isolamos o y na equação obtida:
$latex x=\frac{y+4}{2y-5}$
$latex x(2y-5)=y+4$
$latex 2xy-5x=y+4$
$latex 2xy-y=5x+4$
$latex y(2x-1)=5x+4$
$latex y=\frac{5x+4}{2x-1}$
Passo 4: Temos que substituir $latex {{f}^{-1}}(x)$ por y:
$latex {{f}^{-1}}(x)=\frac{5x+4}{2x-1}$
EXERCÍCIO 4
Dada a função $latex f(x)= \log_{10}(x)$, encontre a função inversa $latex {{f}^{-1}}(x)$.
Solução
Passo 1: Começamos substituindo $latex f(x)$ por y para facilitar a visualização:
$latex f(x)=\log_{10}(x)$
$latex y=\log_{10}(x)$
Passo 2: Trocamos x por y e y por x:
$latex x=\log_{10}(y)$
Passo 3: Resolvemos a equação do passo 2 para y:
$latex x=\log_{10}(y)$
$latex {{10}^x}=y$
Passo 4: Substituímos a y por $latex {{f}^{-1}}(x)$:
$latex {{f}^{-1}}(x)={{10}^x}$
EXERCÍCIO 5
Se tivermos $latex f(x)= \sqrt{x-5}$, encontre $latex {{f}^{- 1}}(x)$.
Solução
Passo 1: Começamos substituindo $latex f(x)$ por y:
$latex f(x)=\sqrt{x-5}$
$latex y=\sqrt{x-5}$
Passo 2: Trocamos as variáveis x e y:
$latex x=\sqrt{y-5}$
Passo 3: Resolvemos para y quadrando ambos os lados:
$latex x=\sqrt{y-5}$
$latex {{x}^2}=y-5$
$latex {{x}^2}+5=y$
Passo 4: Substituímos a y por $latex {{f}^{-1}}(x)$:
$latex {{f}^{-1}}(x)={{x}^2}+5$
EXERCÍCIO 6
Encontre a função inversa de $latex f(x) = \frac{x+1}{x}$.
Solução
Passo 1: Substituímos $latex f(x)$ por y:
$latex f(x)=\frac{x+1}{x}$
$latex y=\frac{x+1}{x}$
Passo 2: Temos que substituir x por y e y por x:
$latex x=\frac{y+1}{y}$
Passo 3: Resolvemos para y:
$latex x=\frac{y+1}{y}$
$latex xy=y+1$
$latex xy-y=1$
$latex y(x-1)=1$
$latex y=\frac{1}{x-1}$
Passo 4: Substiuímos y por $latex {{f}^{-1}}(x)$:
$latex {{f}^{-1}}(x)=\frac{1}{x-1}$
EXERCÍCIO 7
Dada a função $latex f(x) =\sqrt[4]{2x+5}$, encontre sua função inversa.
Solução
Passo 1: Substituímos $latex f(x)$ por y:
$latex f(x)=\sqrt[4]{2x+5}$
$latex y=\sqrt[4]{2x+5}$
Passo 2: Trocamos as variáveis x e y:
$latex x=\sqrt[4]{2y+5}$
Passo 3: Elevamos ambos os lados ao quarto para resolver para y:
$latex x=\sqrt[4]{2y+5}$
$latex {{x}^4}=2y+5$
$latex {{x}^4}-5=2y$
$latex \frac{{{x}^4}-5}{2}=y$
Passo 4: Substituímos a y por $latex {{f}^{-1}}(x)$:
$latex {{f}^{-1}}(x)=\frac{{{x}^4}-5}{2}$
Exercícios de funções inversas para resolver
Coloque seu conhecimento das funções inversas em prática com os exercícios a seguir. Se precisar de ajuda com isso, você pode olhar o processo usado e os exercícios resolvidos acima.
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
