Funções racionais são funções que possuem uma fração com um polinômio no denominador e um polinômio no numerador. Para representar graficamente essas funções, é necessário determinar quais são suas assíntotas.
A seguir, veremos um resumo das funções racionais. Revisaremos como representar graficamente funções racionais e como encontrar assíntotas. Além disso, veremos vários exercícios de funções racionais resolvidos para entender completamente o processo usado para encontrar assíntotas e representar graficamente esses tipos de funções.
Resumo de funções racionais
Uma função racional é uma função que pode ser escrita como uma fração de duas funções polinomiais. Nem os coeficientes dos polinômios, nem os valores tomados pela função têm que ser necessariamente números racionais.
Uma função de uma variável x é considerada uma função racional apenas se puder ser escrita na forma:
$latex f(x) =\frac{P(x)}{Q(x)}$
onde P e Q são funções polinomiais e $latex Q(x)$ é diferente de zero.
Representar graficamente funções racionais
Para representar graficamente funções racionais, seguimos as seguintes etapas:
Passo 1: Encontre as interceptações, se houver. A interceptação y é o ponto $latex (0, ~f(0))$ e encontramos as interceptações x definindo o denominador como uma equação igual a zero e resolvendo por x.
Passo 2: Encontramos as assíntotas verticais definindo o denominador igual a zero e resolvendo.
Passo 3: Se existir, encontramos a assíntota horizontal usando os detalhes abaixo sobre as assíntotas.
Passo 4: As assíntotas verticais dividirão o gráfico em várias regiões. Temos que encontrar vários pontos em cada uma das regiões para determinar a forma geral que o gráfico terá.
Passo 5: Traçamos o gráfico que passa por todos os pontos encontrados.
Encontre assíntotas
Se tivermos a função racional $latex \frac{a{{x}^n}+\cdots}{b{{x}^m}+\cdots}$, onde, n é o maior expoente do numerador m é o denominador do expoente, podemos encontrar assíntotas da seguinte maneira:
1. Se o denominador for zero em $latex x = a$ e o denominador não for zero em $latex x=a$, o gráfico terá uma assíntota vertical em $latex x=a$.
2. Se $latex n<m$, o eixo x é a assíntota horizontal.
3. Se $latex n=m$, a linha $latex y=\frac{a}{b}$ é a assíntota horizontal.
4. Se $latex n>m$, não haverá assíntotas horizontais
Exercícios de funções racionais resolvidos
Os seguintes exercícios de funções racionais são resolvidos usando o processo detalhado acima. Tente resolver os exercícios sozinho antes de ver a resposta.
EXERCÍCIO 1
Obtenha o gráfico da função racional $latex f(x)= \frac{-3}{x-1}$.
Solução
Passo 1: Começamos encontrando as interceptações da função:
- A interceptação em y é o ponto $latex (0, f(0))=(0, 3)$.
- Para as interceptações em x, tornamos o numerador igual a zero e resolvemos. No entanto, aqui o numerador é a constante -3, portanto, não tem zeros. Portanto, a função não tem interceptações em x.
Passo 2: Para encontrar as assíntotas verticais, tornamos o denominador zero e resolvemos:
$latex x-1=0$
$latex x=1$
Temos uma assíntota vertical em $latex x=1$.
Passo 3: O maior expoente de x no denominador é 1, que é maior do que o expoente de x no numerador (0). Portanto, o eixo x é a assíntota horizontal.
Passo 4: Temos apenas uma assíntota vertical, então temos duas regiões no gráfico: $latex x>1$ e $latex x<1$.
Precisamos de um ponto em cada região para determinar se ele estará localizado acima ou abaixo da assíntota horizontal. Então, podemos usar:
$latex f(0)=3$ ⇒ $latex (0, 3)$
$latex f(2)=-3$ ⇒ $latex (2, -3)$
Passo 5: A seguir está o gráfico da função:
EXERCÍCIO 2
Represente graficamente a função racional $latex f(x)=\frac{4-2x}{1-x}$
Solução
Passo 1: Temos que encontrar as interceptações da função:
- O intecepto em y é o ponto $latex (0, f(0))=(0, 4)$.
- Encontramos interceptações emx definindo o numerador igual a zero e resolvendo:
$latex 4-2x=0$
$latex -2x=-4$
$latex x=2$
A interceptação em x é $latex x=2$.
Passo 2: Encontramos as assíntotas verticais tornando o denominador zero e resolvendo:
$latex 1-x=0$
$latex x=1$
Temos uma assíntota vertical em $latex x=1$.
Passo 3: Os maiores expoentes de x no denominador e no numerador são iguais. Assim, a assíntota horizontal é igual ao coeficiente de x no numerador dividido pelo coeficiente de x no denominador:
$latex y=\frac{-2}{-1}=2$
Passo 4: Temos uma assíntota vertical, então só temos duas regiões no gráfico: $latex x>1$ e $latex x<1$.
Temos que encontrar um ponto em cada região para saber se ele estará localizado acima ou abaixo da assíntota horizontal. Então, vamos usar:
$latex f(0)=4$ ⇒ $latex (0, 4)$
$latex f(2)=0$ ⇒ $latex (2, 0)$
Passo 5: Com os pontos obtidos, representamos graficamente a função:
EXERCÍCIO 3
Represente graficamente a função racional $latex f(x)= \frac{4}{{{x}^2}+x-2}$.
Solução
Passo 1: Temos que encontrar as interceptações da função:
- O intecepto em y é o ponto $latex (0, f(0))=(0, -2)$.
- Encontramos as interceptações em x definindo o numerador igual a zero e resolvendo. Nesse caso, o numerador é a constante 4, então não temos zeros e a função não tem interceptações em x.
Passo 2: Definimos o denominador igual a zero e resolvemos para encontrar as assíntotas verticais:
$latex {{x}^2}+x-2=0$
$latex (x+2)(x-1)=0$
Temos as assíntotas verticais $latex x=1$ e $latex x=-2$.
Passo 3: Nesta função, o maior expoente de x no denominador é maior do que o expoente de x no numerador (0). Portanto, o eixo x é a assíntota horizontal.
Passo 4: Temos duas assíntotas verticais, então temos três regiões no gráfico: $latex x<-2$, $latex -2<x<1$ e $latex x>1$.
Precisamos de um ponto em cada região para determinar se ele estará localizado acima ou abaixo da assíntota horizontal. A região do meio é um pouco mais complicada, então precisaremos de alguns pontos próximos às assíntotas verticais. Então, podemos usar:
$latex f(-3)=1$ ⇒ $latex (-3, 1)$
$latex f(-1)=-2$ ⇒ $latex (-1, -2)$
$latex f(0)=-2$ ⇒ $latex (0, -2)$
$latex f(2)=1$ ⇒ $latex (2, 1)$
Passo 5: A seguir está o gráfico da função:
EXERCÍCIO 4
Encontre o gráfico da função racional $latex f(x) = \frac{{{x}^2}-4}{{{x}^2}-4x}$.
Solução
Passo 1: As interceptações da função racional são:
- Se usarmos $latex x=0$, teremos divisão por zero, então a função não tem uma interceptação em y. No entanto, já encontramos uma assíntota vertical.
- Los interceptos en x son:
$latex {{x}^2}-4=0$
$latex x= \pm2$
Portanto, temos duas interceptações em x.
Passo 2: Já encontramos uma assíntota vertical, mas pode haver mais. Então, fazemos o denominador zero e resolvemos:
$latex {{x}^2}-4x=x(x-4)=0$
$latex x=0$ e $latex x=4$
Obtivemos duas assíntotas verticais em $latex x=0$ e $latex x=4$.
Passo 3: O maior expoente de x no numerador é 2, semelhante ao numerador. Então, teremos uma assíntota horizontal em:
$latex y= \frac{1}{1}=1$
Passo 4: Temos as regiões: $latex x<0$, $latex 0<x<4$ e $latex x>4$.
Algumas interceptações em x estão na região delineada, então não precisamos de um ponto final. Outra interceptação em x está na região intermediária, mas precisamos de mais pontos para determinar seu comportamento. Além disso, precisamos de um ponto na região direita. Então temos medo:
$latex f(1)=1$ ⇒ $latex (1, 1)$
$latex f(3)=-\frac{5}{3}$ ⇒ $latex (3, -\frac{5}{3})$
$latex f(5)=\frac{21}{5}$ ⇒ $latex (5, \frac{21}{5})$
Passo 5: A seguir está o gráfico da função:
EXERCÍCIO 5
Represente graficamente a função $$f(x)= \frac{4{{x}^2}-36}{{{x}^2}-2x-8}$$
Solução
Passo 1: Começamos com as interceptações da função:
- O intecepto em y é o ponto $latex (0, f(0))=(0, \frac{9}{2})$.
- As interceptações em x são:
$latex 4{{x}^2}-36=0$
$latex 4{{x}^2}=36$
$latex {{x}^2}=9$
$latex x= \pm3$
As interceptações em x são (-3, 0) e (3, 0).
Passo 2: Para encontrar as assíntotas verticais, tornamos o denominador zero e resolvemos:
$latex {{x}^2}-2x-8=0$
$latex (x+2)(x-4)=0$
Temos duas assíntotas verticais em $latex x=-2$ e $latex x=4$.
Passo 3: O maior expoente de x no denominador e no numerador é 2. Portanto, a assíntota horizontal é:
$latex y= \frac{4}{1}=4$
Passo 4: Temos duas assíntotas verticais, então temos as regiões: $latex x<-2$, $latex -2<x<4$ e $latex x>4$.
Precisamos de um ponto em cada região, mas precisamos de alguns pontos na região intermediária. Então, podemos usar:
$latex f(-3)=0$ ⇒ $latex (-3, 0)$
$latex f(-1)= \frac{32}{5}$ ⇒ $latex (-1, \frac{32}{5})$
$latex f(3)=0$ ⇒ $latex (3, 0)$
$latex f(5)=\frac{64}{7}$ ⇒ $latex (5, \frac{64}{7})$
Passo 5: A seguir está o gráfico da função:
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
