Uma função linear é definida como uma função que possui uma ou mais variáveis sem expoentes. Funções lineares produzem linhas retas quando representadas graficamente. A seguir, faremos uma breve revisão das funções lineares.
Veremos como representar graficamente funções lineares e como encontrar suas equações. Além disso, veremos vários exercícios resolvidos para colocar em prática o que aprendemos.
Resumo de funções lineares
Uma função linear é uma função que forma uma linha reta quando representada graficamente. Esses tipos de funções são geralmente funções polinomiais, que têm um grau máximo de 1. Uma função linear tem uma variável dependente e uma variável independente. A variável independente é x e a variável dependente é y.
As funções lineares têm a seguinte forma geral:
$latex y=f(x)=mx+b$
onde:
- b é o termo constante ou a interceptação y. Este é o valor da variável dependente quando temos $latex x=0$.
- m é o coeficiente da variável independente. Também é conhecido como declive e determina a inclinação da linha.
Represente graficamente uma função linear
Para representar graficamente uma função linear, seguimos os seguintes passos:
Passo 1: Encontramos dois pontos que satisfazem a função.
Passo 2: Traçamos esses pontos no plano cartesiano.
Passo 3: Conectamos esses pontos com uma linha reta.
Encontrando a equação de uma linha
A maneira mais fácil de encontrar a equação de uma reta é escrevê-la na forma $latex y=mx+b$.
Se tivermos dois pontos em uma função, $latex (x_{1}, ~ y_{1})$ e $latex (x_{2}, ~ y_{2})$, a inclinação pode ser encontrada usando a fórmula:
$latex m =\frac{y_{2} -y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$
A interceptação y é encontrada substituindo-se na inclinação e usando qualquer ponto para resolver b.
Exercícios de funções lineares resolvidos
Os exercícios a seguir usam vários aspectos das funções lineares. Cada exercício tem sua respectiva solução, então você pode olhar o raciocínio usado para chegar à resposta. Tente resolver os exercícios sozinho antes de ver a resposta.
EXERCÍCIO 1
O gráfico a seguir representa uma função linear?
Solução
Podemos facilmente determinar que o gráfico representa uma função linear, pois é uma linha reta.
O gráfico representa a função $latex f(x)=2x-3$.
EXERCÍCIO 2
O seguinte é o gráfico de uma função linear?
Solução
Este gráfico não é uma linha reta, portanto não representa uma função linear.
O gráfico representa a função $latex f(x)=2x- \frac{1}{8}{{x}^3}$.
EXERCÍCIO 3
O gráfico a seguir representa uma função linear?
Solução
Esta função parece ser linear, no entanto, esta função é composta por segmentos que são linhas retas. Esta é uma função definida por partes.
O gráfico representa a função
EXERCÍCIO 4
Represente graficamente a equação linear $latex f(x)=2x+1$.
Solução
Uma maneira de representar graficamente essa função é usar dois pontos que estão na linha e, em seguida, desenhar uma linha que passe pelos pontos. Podemos usar $latex x = 0$ e $latex x=1$.
Para $latex x=0$, temos $latex f(0)=2(0)+1=1$. Então, temos o ponto (0, 1).
Para $latex x=1$, temos $latex f(1)=2(1)+1=3$. Então, temos o ponto (1, 3).
Traçando esses pontos e desenhando uma linha, temos:
EXERCÍCIO 5
Represente graficamente a função linear $latex f(x)=-3x+2$.
Solução
Novamente, podemos encontrar dois pontos que se encontram na linha. Portanto, podemos usar os valores $latex x = -1$ e $latex x=1$.
Quando usamos $latex x=-1$, temos $latex f(-1)=-3(-1)+2=5$. Então, temos o ponto (-1, 5).
Quando usamos $latex x=-1$, temos $latex f(1)=-3(1)+2=-1$. Portanto, temos o ponto (1, -1).
Ao representar graficamente esses pontos e desenhar uma linha, temos:
EXERCÍCIO 6
Encontre a função linear que passa pelos pontos (-2, -3) e (3, 2).
Solução
Para encontrar a equação de uma função linear, podemos usar a forma $latex y=mx+b$, onde m é o declive e b é a interceptação em y .
O declive pode ser encontrada usando a fórmula $latex m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$. Então, substituindo os valores pelos dois pontos dados, temos:
$latex m=\frac{2-(-3)}{3-(-2)}$
$latex =\frac{5}{5}=1$
Para encontrar b, inserimos $latex m = 1$ e usamos qualquer um dos pontos. Vamos usar o ponto (3, 2):
$latex y=mx+b$
$latex 2=1(3)+b$
$latex b=-1$
Portanto, a função linear é $latex f(x)=x-1$.
EXERCÍCIO 7
Encontre a função linear que passa pelos pontos (-1, 4) e (2, -2).
Solução
Novamente, podemos usar a forma $latex y = mx + b$, onde m é o declive e b é a interceptação em y.
Então, usamos $latex m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$ para encontrar o declive com os pontos dados:
$latex m=\frac{-2-4}{2-(-1)}$
$latex =\frac{-6}{3}=-2$
Substituímos $latex m=-2$ para encontrar a interceptação em y, b. Vamos usar o ponto (2, -2):
$latex y=mx+b$
$latex -2=-2(2)+b$
$latex b=2$
Portanto, a função linear é $latex f(x)=-2x+2$.
Exercícios de funções lineares para resolver
Teste seu conhecimento de funções lineares com os exercícios a seguir. Escolha uma resposta e verifique se você selecionou a correta. Use os exercícios resolvidos acima se precisar de ajuda.
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
