As funções quadráticas são funções polinomiais que possuem um grau máximo de dois. Os gráficos das funções quadráticas são chamados de parábolas e têm a forma de “U”. As funções quadráticas podem ser usadas para modelar várias situações da vida cotidiana, como o movimento parabólico produzido pelo lançamento de objetos no ar.
A seguir, veremos um resumo das funções quadráticas juntamente com vários exercícios resolvidos que nos ajudarão a entender melhor os conceitos.
Resumo de funções quadráticas
Uma função quadrática tem a forma $latex f(x)=a{{x}^2}+bx+c$, onde a, b e c são números reais e a é diferente de zero.
O gráfico de uma função quadrática é uma curva chamada parábola. As parábolas abrem para cima ou para baixo e têm diferentes “larguras” ou “inclinações”, mas todas têm o mesmo formato em U básico. A seguir estão gráficos de parábolas:
Todas as parábolas são simétricas em relação a uma linha chamada eixo de simetria. Uma parábola cruza seu eixo de simetria em um ponto denominado vértice da parábola.
Sabemos que dois pontos determinam uma linha. Ou seja, se tivermos dois pontos no plano, haverá apenas uma linha que contém os dois pontos. Existe uma declaração semelhante para pontos e funções quadráticas.
Dados três pontos no plano que têm coordenadas diferentes e que não estão em uma linha reta, existe exatamente uma função quadrática, que produz um gráfico que contém todos os três pontos.
As funções quadráticas podem ser representadas graficamente localizando vários pontos que fazem parte da curva e usando seus eixos de simetria.
Podemos encontrar as raízes de uma função quadrática usando sua forma fatorada e lembrando que se sua forma fatorada for $latex f(x)=(x-a)(x-b)$, então suas raízes são $latex x=a$ e $latex x=b$.
Funções quadráticas – Exercícios resolvidos
Os exercícios de funções quadráticas a seguir têm suas respectivas soluções que detalham o processo e o raciocínio usados para chegar à resposta. Tente resolver os exercícios sozinho antes de olhar para a solução.
EXERCÍCIO 1
Represente graficamente a função quadrática $latex {{x}^2}+2$.
Solução
Podemos usar três pontos para representar graficamente a função quadrática. Escolhemos os valores $latex x=0$, $latex x=1$ e $latex x=2$. Então, temos:
- Quando $latex x=0$, temos $latex f(0)=0+2=2$
- Quando $latex x=1$, temos $latex f(1)=1+2=3$
- Quando $latex x=2$, temos $latex f(2)=4+2=6$
Em seguida, representamos graficamente esses pontos e desenhamos uma curva que passa por eles e produzimos um reflexo em seu eixo de simetria:
Alternativamente, podemos reconhecer que este gráfico é o gráfico de uma função quadrática padrão $latex f(x)={{x}^2}$ com uma translação vertical de 2 unidades para cima.
EXERCÍCIO 2
Represente graficamente a função quadrática $latex {{x}^2}-1$.
Solução
Novamente, podemos usar os valores $latex x=0$, $latex x=1$ e $latex x=2$ para obter três pontos. Então, temos:
- Quando $latex x=0$, temos $latex f(0)=0-1=-1$
- Quando $latex x=1$, temos $latex f(1)=1-1=0$
- Quando $latex x=2$, temos $latex f(2)=4-1=3$
Plotamos esses pontos e desenhamos uma curva. Então, replicamos essa curva em seu eixo de simetria:
Alternativamente, é possível reconhecer que este gráfico é um padrão quadrático $latex f(x)={{x}^2}$ com uma translação vertical de 1 unidade para baixo.
EXERCÍCIO 3
Represente graficamente a função quadrática $latex -{{x}^2}+3$.
Solução
Usando os valores $latex x=0$, $latex x=1$ e $latex x=2$, temos:
- Quando $latex x=0$, temos $latex f(0)=0+3=3$
- Quando $latex x=1$, temos $latex f(1)=-1+3=2$
- Quando $latex x=2$, temos $latex f(2)=-4+2=-2$
Agora, traçamos os pontos e desenhamos uma curva. Então nós replicamos isso em seu eixo de simetria:
Alternativamente, é possível reconhecer que esta função é uma função quadrática padrão $latex f(x)={{x}^2}$ com um reflexo no eixo y e uma translação vertical de 3 unidades para cima.
EXERCÍCIO 4
Encontre as raízes da função quadrática, se existirem:
Solução
As raízes de uma função quadrática são os pontos onde o gráfico cruza o eixo x. Nesse caso, vemos que o gráfico da função quadrática cruza o eixo x nos pontos $latex x=-2$ e $latex x=3$, portanto, essas são as raízes.
EXERCÍCIO 5
Encontre as raízes da seguinte função quadrática, se existirem:
Solução
Vemos que, neste caso, o gráfico da função quadrática não cruza o eixo x, portanto, a função não tem raízes reais.
Todas as funções quadráticas têm raízes se não estivermos restritos a números reais e pudermos usar números imaginários. No entanto, na maioria dos casos, podemos dizer que essa função não tem raízes reais.
EXERCÍCIO 6
Use a forma fatorada para encontrar as raízes da função quadrática $latex f(x)={{x}^2}+5x+6$.
Solução
Para encontrar a forma fatorada da função quadrática, temos que encontrar dois números de modo que sua soma seja igual a 5 e seu produto seja igual a 6.
Dois números que atendem a essas condições são 2 e 3, pois $latex 2+3=5$ e $latex 2 \times 3=6$. Assim, para encontrar as raízes da função quadrática, reescrevemos a função em sua forma fatorada usando os números encontrados e configurados igual a zero:
$latex f(x)=(x+2)(x+3)=0$
As raízes são $latex x=-2$ e $latex x=-3$.
EXERCÍCIO 7
Encontre as raízes da função quadrática $latex f(x)={{x}^2}+2x-8$.
Solução
Nesse caso, temos que encontrar dois números para que sua soma seja 2 e seu produto seja -8.
Podemos atender a essas condições com os números 4 e -2, pois $latex 4-2=2$ e $latex 4 \times -2=-8$. Assim, encontramos as raízes da função quadrática reescrevendo a função em sua forma fatorada usando os números encontrados e definindo zero:
$latex f(x)=(x+4)(x-2)=0$
As raízes são $latex x=-4$ e $latex x=2$.
EXERCÍCIO 8
Use a forma fatorada para encontrar as raízes da função quadrática $latex f(x)=2{{x}^2}+4x-6$.
Solução
Podemos começar retirando o fator comum 2 da função:
$latex f(x)=2{{x}^2}+4x-6$
$latex =2({{x}^2}+2x-3)$
Agora, encontramos dois números para que sua soma seja igual a 2 e seu produto seja igual a -3.
Os números 3 e -1 atendem a essas condições, pois $latex 3-1=2$ e $latex 3 \times -1=-3$. Então, reescrevemos a função em sua forma fatorada usando os números encontrados e definimos zero igual:
$latex f(x)=2(x+2)(x-1)=0$
As raízes são $latex x=-2$ e $latex x=1$.
Funções quadráticas – Exercícios para resolver
Teste seu conhecimento das funções quadráticas com os exercícios a seguir. Escolha uma resposta e verifique se você selecionou a resposta correta.
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
