As funções logarítmicas são as funções inversas das exponenciais, uma vez que invertem o efeito dessas funções. Para resolver funções logarítmicas, é necessário conhecer as propriedades dos logaritmos, pois eles nos permitem reescrever expressões logarítmicas em formas mais gerenciáveis.
A seguir, veremos um resumo das funções logarítmicas junto com suas propriedades mais importantes. Além disso, veremos vários exercícios resolvidos para saber como resolver funções logarítmicas usando suas propriedades e sua função inversa.
Resumo de funções logarítmicas
As funções logarítmicas são as funções inversas das funções exponenciais. Lembre-se de que uma função exponencial tem a forma geral $latex f(x)={{b}^x}$, onde, $latex b>0<x$ e $latex b \neq 1$. A quantidade b é a base e x é o expoente.
Por outro lado, como as funções logarítmicas são definidas como o inverso da exponenciação, a função logarítmica é escrita como $latex \log_{b}(x)=y$, onde b é a base, y é o expoente e x é o argumento.
Resolver funções logarítmicas
Para resolver funções logarítmicas, podemos fazer uso das funções exponenciais na função dada. Por exemplo, o logaritmo natural denotado por ln é o inverso de e. Isso significa que podemos reverter o efeito de uma função com a outra:
$latex \ln ({{e}^x})=x$
$latex {{e}^{\ln (x)}}=x$
Também precisamos conhecer as propriedades dos logaritmos para resolver as funções logarítmicas:
Regra do produto: A regra do produto dos logaritmos afirma que o logaritmo do produto de dois números com uma base comum é igual à soma dos logaritmos individuais:
$latex \log_{b}(pq)=\log_{b}(p)+\log_{b}(q)$
Regra do quociente: A regra do quociente logarítmico indica que o logaritmo da razão de dois números com a mesma base é igual à diferença dos logaritmos:
$latex \log_{b}(p/q)=\log_{b}(p)-\log_{b}(q)$
Regra da potência: A regra de potência do logaritmo indica que o logaritmo de um número com um expoente racional é igual ao produto do expoente e seu logaritmo :
$latex \log_{b}({{p}^q})=q\log_{b}(p)$
Regra de expoente zero:
$latex \log_{b}(1)=0$
Regra de mudança de bases:
$latex \log_{a}(p)=\frac{\log_{x}(p)}{\log_{x}(a)}$
Exercícios de funções logarítmicas resolvidos
Com os exercícios a seguir, você pode praticar o que aprendeu sobre funções logarítmicas. Cada exercício tem a respectiva solução para conhecer o raciocínio utilizado. É aconselhável tentar resolver o problema primeiro, antes de procurar a solução.
EXERCÍCIO 1
Reescreva a função exponencial $latex {{8}^2}=64$ para sua função logarítmica equivalente.
Solução
Na função exponencial $latex {{8}^2}=64$, a base é 8, o expoente é 2 e o argumento é 64. Então, $latex {{8}^2}=64$ na função logarítmica é:
$latex \log_{8}(64)=2$
EXERCÍCIO 2
Escreva o logaritmo equivalente de $latex {{6}^3}=216$.
Solução
Nesse caso, a base é igual a 6, o expoente é 3 e o argumento é 216. Portanto, a função logarítmica equivalente é:
$latex \log_{6}(216)=3$
EXERCÍCIO 3
Resolva a expressão logarítmica para x: $latex \log_{5}(x)=2$.
Solução
Muitas das equações logarítmicas são resolvidas mais facilmente reescrevendo-as como equações exponenciais. Então, podemos reescrever a função logarítmica da seguinte maneira:
$latex \log_{5}(x)=2$
⇒ $latex {{5}^2}=x$
⇒ $latex x=25$
EXERCÍCIO 4
Se $latex 2 \log(x)=4 \log(3)$, encontre o valor de x.
Solução
Podemos começar dividindo a expressão inteira por 2 para simplificar:
$latex \frac{2\log (x)}{2}=\frac{4 \log (3)}{2}$
$latex \log (x)=2\log (3)$
Agora, podemos usar a regra de potência do logaritmo para reescrever a expressão à direita:
$latex \log (x)=\log ({{3}^2})$
$latex \log (x)=\log (9)$
$latex x=9$
EXERCÍCIO 5
Resolva para x na seguinte função logarítmica: $latex \log_{2}(x-1)=5$.
Solução
Para facilitar a resolução, reescrevemos o logaritmo de forma exponencial:
$latex \log_{2}(x-1)=5$
⇒ $latex x-1={{2}^5}$
Agora, temos uma equação algébrica e podemos facilmente resolver para x:
$latex x-1=32$
$latex x=32+1$
$latex x=33$
EXERCÍCIO 6
Resolva para a função logarítmica $latex \log(x)= \log(2)+\log(5)$.
Solução
Aqui, temos que usar a regra do produto para combinar os logaritmos no lado direito da expressão:
$latex \log(x)=\log(2)+\log(5)$
$latex \log(x)=\log(2\times 5)$
$latex \log(x)=\log(10)$
$latex x=10$
EXERCÍCIO 7
Resolva para a função logarítmica $latex \log_{x}(4x-3)=2$.
Solução
Temos que escrever o logaritmo na forma exponencial para facilitar a resolução do problema:
$latex \log_{x}(4x-3)=2$
⇒ $latex {{x}^2}=4x-3$
Agora, temos uma equação quadrática, que podemos resolver usando fatoração:
$latex {{x}^2}=4x-3$
$latex {{x}^2}-4x+3=0$
$latex (x-1)(x-3)=0$
$latex x=1$ o $latex x=3$
A base de um logaritmo nunca pode ser igual a 1, então a solução para a função logarítmica é $latex x=3$.
Exercícios de funções logarítmicas para resolver
Pratique e teste seus conhecimentos sobre funções logarítmicas com esses exercícios. Basta escolher uma resposta e verificar clicando em “Verificar”. Você pode examinar os exercícios resolvidos acima cuidadosamente se tiver problemas para resolvê-los.
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
