A diferença de quadrados nos permite fatorar expressões algébricas. A diferença de quadrados nos diz que é possível escrever uma expressão quadrática como o produto de dois binômios, um contendo a soma das raízes quadradas e o outro contendo a subtração das raízes quadradas.
A seguir, veremos um resumo da diferença de quadrados juntamente com vários exercícios resolvidos.
Resumo de diferença de quadrados
Lembre-se de que a diferença de quadrados é um teorema que nos diz se uma equação quadrática pode ser escrita como o produto de dois binômios. Um desses binômios mostra a diferença das raízes quadradas e o outro binômio mostra a soma das raízes quadradas. Uma diferença de quadrados é expressa na forma:
$latex {{a}^2}-{{b}^2}$
onde o primeiro e o segundo termos são quadrados perfeitos. Ao fatorar a diferença de quadrados, temos:
$latex {{a}^2}-{{b}^2}=(a+b)(a-b)$
Para fatorar usando a diferença de quadrados, podemos seguir os seguintes passos:
Passo 1: Extraia o fator comum, se houver. Não se esqueça de incluir esse fator comum em sua resposta final.
Passo 2: Determinamos os números que produzirão os mesmos resultados e usamos a fórmula $latex {{a}^2}-{{b}^2}=(a+b)(a-b)$.
Passo 3: Fatorar e simplificar a expressão resultante, se possível.
10 Exercícios de diferença de quadrados resolvidos
EXERCÍCIO 1
Fatore a expressão $latex {{x}^2}-25$.
Solução
Passo 1: Não temos fatores comuns.
Passo 2: Como sabemos que 5 ao quadrado é igual a 25, podemos reescrever a expressão da seguinte maneira:
$latex {{x}^2}-{{5}^2}$
Agora, aplicamos a fórmula $latex {{a}^2}-{{b}^2}=(a+b)(a-b)$:
$latex=(x+5)(x-5)$
Passo 3: Não podemos mais fatorar.
EXERCÍCIO 2
Use a diferença de quadrados para fatorar $latex x^2-64$.
Solução
Passo 1: Não temos fatores comuns.
Passo 2: Podemos escrever a expressão da seguinte forma:
$latex x^2-8^2$
Agora, aplicamos a fórmula da diferença de quadrados $latex a^2-b^2=(a+b)(a-b)$:
$latex=(x+8)(x-8)$
Passo 3: A expressão está simplificada.
EXERCÍCIO 3
Fatore a expressão $latex {{x}^2}-81$.
Solução
Passo 1: A expressão não tem fatores comuns.
Passo 2: Uma vez que temos $latex {{x}^2}-81={{x}^2}-{{9}^2}$. Então, aplicamos a fórmula para a diferença de quadrados $latex {{a}^2}-{{b}^2}=(a+b)(a-b)$, onde a é igual a x e b é igual a 9:
$latex=(x+9)(x-9)$
Passo 3: Não podemos mais fatorar.
EXERCÍCIO 4
Use a diferença de quadrados para fatorar $latex 4x^2-36$.
Solução
Passo 1: À primeira vista, parece que a diferença de quadrados não se aplica aqui. No entanto, podemos extrair o fator comum 4 de ambos os termos:
$latex 4x^2-36=4(x^2-9)$
Passo 2: Agora podemos escrever 9 como $latex 3^2$ e aplicar a fórmula da diferença de quadrados:
$latex 4(x^2-3^2)=4(x+3)(x-3)$
Passo 3: A expressão está simplificada.
EXERCÍCIO 5
Fatore a expressão $latex 4x^2-121y^2$.
Solução
Passo 1: Os termos não têm fatores comuns.
Passo 2: Podemos escrever os termos da expressão da seguinte forma:
$latex (2x)^2-(11y)^2$
Agora, podemos aplicar a fórmula da diferença de quadrados e temos:
$latex (2x)^2-(11y)^2=(2x+11y)(2x-11y)$
Passo 3: A expressão está simplificada.
EXERCÍCIO 6
Use a diferença de quadrados para fatorar $latex 8a^2-50b^2$.
Solução
Passo 1: Podemos extrair o fator comum 2 de ambos os termos:
$latex 2(4a^2-25b^2)$
Passo 2: Agora, escrevemos a expressão da seguinte forma:
$latex =2((2a)^2-(5b)^2)$
Usando a fórmula da diferença de quadrados, temos:
$latex 2((2a)^2-(5b)^2)=2(2a+5b)(2a-5b)$
Passo 3: A expressão está agora simplificada.
EXERCÍCIO 7
Fatore a expressão $latex 3{{x}^2} -27{{y}^2}$.
Solução
Passo 1: Neste caso, 3 é um fator comum de ambos os termos, então o fatoramos:
$latex 3{{x}^2}-27{{y}^2}=3({{x}^2}-9{{y}^2})$
Passo 2: Podemos escrever $latex 9{{y}^2}$ como $latex {{(3y)}^2}$. Agora, aplicamos a fórmula para a diferença de quadrados:
$latex 3({{x}^2}-{{(3y)}^2})=3(x+3y)(x-3y)$
Passo 3: Não podemos mais fatorar.
EXERCÍCIO 8
Fatore a expressão $latex {{x}^3}-64x$.
Solução
Passo 1: Como x é um fator comum, o fatoramos:
$latex {{x}^3}-64x=x({{x}^2}-64)$
Passo 2: Podemos escrever 64 como $latex {{8}^2}$. Usando a fórmula para a diferença de quadrados, temos:
$latex x({{x}^2}-64)=x(x+8)(x-8)$
Passo 3: Não podemos mais fatorar.
EXERCÍCIO 9
Fatore a expressão $latex {{(y-3)}^2}-{{(y+5)}^2}$.
Solução
Passo 1: Não temos nada para fatorar.
Passo 2: Neste caso, temos que a é igual a $latex (y-3)$ e b é igual a $latex (y+5)$. Então, usamos a fórmula para a diferença de quadrados:
$$[(y-3)+(y+5)][(y-3)-(y-5)]$$
Passo 3: Aqui podemos combinar termos semelhantes e simplificar:
$latex =[2y+2][2]$
$latex =4y+4$
EXERCÍCIO 10
Fatore a expressão $latex 16{{(x+y)}^2}-25{{(x-2y)}^2}$.
Solução
Passo 1: Não temos nada para fatorar.
Passo 2: Começamos escrevendo para a expressão da seguinte maneira:
$latex {{(4(x+y))}^2}-{{(5(x-2y))}^2}$
Aqui, temos que a é igual a $latex 4(x+y)$ e b é igual a $latex 5(x-2y)$. Então, usamos a fórmula para a diferença de quadrados:
$$[4(x+y)+5(x-2y)][4(x+y)-5(x-2y)]$$
Passo 3: Aqui podemos expandir, combinar termos semelhantes e simplificar:
$$=[4x+4y+5x-10y][4x+4y-5x+10y]$$
$latex =(9x-6y)(-x+14y)$
Exercícios de diferença de quadrados para resolver
Fatore a expressão $latex x^3-144x$ usando a diferença de quadrados.
Escreva a resposta na caixa.
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
