20 Exercícios de Equações Quadráticas

Esta equação é uma equação quadrática incompleta que não tem o termo bx. Podemos resolver esta equação isolando o termo x² e extraindo a raiz quadrada de ambos os lados da equação:

$latex x^2-25=0$

$latex x^2=25$

Tirando a raiz de ambos os lados, temos:

$latex x=\pm \sqrt{25}$

$latex x=\pm 5$

Assim, as soluções da equação são $latex x=5$ e $latex x=-5$.

Esta é uma equação quadrática incompleta que não tem o termo c. Para resolver esta equação, precisamos fatorar x e, em seguida, formar uma equação com cada fator:

$latex x^2-4x=0$

$latex x(x-4)=0$

Formando uma equação com cada fator, temos:

$latex x=0~~$ ou $latex ~~x-4=0$

$latex x=0~~$ ou $latex ~~x=4$

As soluções da equação são $latex x=0$ e $latex x=4$.

Podemos resolver essa equação usando o método de fatoração. Para isso, procuramos dois números que quando multiplicados são iguais a 6 e quando somados são iguais a 5.

Os dois números que estamos procurando são 2 e 3. Então, temos:

$latex x^2+5x+6=0$

$latex (x+2)(x+3)=0$

Agora, formamos uma equação com cada fator e resolvemos:

$latex x+2=0~~$ ou $latex ~~x+3=0$

$latex x=-2~~$ ou $latex ~~x=-3$

As soluções da equação são $latex x=-2$ e $latex x=-3$.

Podemos resolver essa equação fatorando. Para isso, procuramos dois números, que quando multiplicados são iguais a -7 e quando somados são iguais a -6.

Os números que estamos procurando são -7 e 1. Então, temos:

$latex x^2-6x-7=0$

$latex (x-7)(x+1)=0$

Formando uma equação com cada fator, temos:

$latex x-7=0~~$ ou $latex ~~x+1=0$

$latex x=7~~$ ou $latex ~~x=-1$

As soluções da equação são $latex x=7$ e $latex x=-1$.

Esta equação é uma equação quadrática incompleta da forma $latex ax^2+c=0$. Podemos resolver esta equação resolvendo para x² e extraindo a raiz quadrada de ambos os lados:

$latex 2x^2-32=0$

$latex 2x^2=32$

$latex x^2=16$

Tirando a raiz quadrada de ambos os lados, temos:

$latex x=\pm \sqrt{16}$

$latex x=\pm 4$

As soluções da equação são $latex x=4$ e $latex x=-4$.

Esta equação é uma equação quadrática incompleta da forma $latex ax^2+bx=0$. Para resolver esta equação, podemos fatorar 4x de ambos os termos e então formar uma equação com cada fator:

$latex 4x^2+8x=0$

$latex 4x(x+2)=0$

Formando uma equação com cada fator, temos:

$latex 4x=0~~$ ou $latex ~~x+2=0$

$latex x=0~~$ ou $latex ~~x=-2$

As soluções da equação são $latex x=0$ e $latex x=-2$.

Para completar o quadrado, pegamos o coeficiente b, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado. Então temos:

$$\left(\frac{b}{2}\right)^2=\left(\frac{4}{2}\right)^2$$

$$=2^2$$

Agora, adicionamos e subtraímos esse valor à equação quadrática:

$$x^2+4x-6=x^2+4x+2^2-2^2-6$$

Agora, podemos completar o quadrado e simplificar:

$latex = (x+2)^2-4-6$

$latex = (x+2)^2-10$

Assim, temos a equação:

$latex (x+2)^2=10$

Tirando a raiz quadrada de ambos os lados, temos:

⇒ $latex x+2=\sqrt{10}$

Resolvendo, temos:

⇒ $latex x=-2\pm \sqrt{10}$

Podemos identificar os coeficientes $latex a=1$, $latex b=-8$ e $latex c=4$. Usando esses valores na fórmula de Bhaskara, temos:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

$$x=\frac{-(-8)\pm \sqrt{( -8)^2-4(1)(4)}}{2(1)}$$

$$=\frac{8\pm \sqrt{64-16}}{2}$$

$$=\frac{8\pm \sqrt{48}}{2}$$

$$x=7,46 \text{ ou } 0,54$$

Portanto, as soluções são $latex x=7,46$ e $latex x=0,54$.

Podemos dividir a equação inteira por 2 para tornar o coeficiente do termo quadrático igual a 1:

⇒ $latex x^2+4x-5=0$

Agora, pegamos o coeficiente b, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado. Então temos:

$$\left(\frac{b}{2}\right)^2=\left(\frac{4}{2}\right)^2$$

$$=2^2$$

Adicionando e subtraindo à expressão quadrática, temos:

$$x^2+4x-5=x^2+4x+2^2-2^2-5$$

Completando o quadrado e simplificando, temos:

$latex = (x+2)^2-4-5$

$latex = (x+2)^2-9$

Agora, escrevemos a equação assim:

⇒ $latex (x+2)^2=9$

E tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:

⇒ $latex x+2=\pm 3$

Resolvendo, temos:

⇒ $latex x=1~~$ ou $latex ~~x=-5$

Podemos identificar os coeficientes $latex a=1$, $latex b=-10$ e $latex c=25$. Usando-os na fórmula de Bhaskara, temos:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

$$x=\frac{-(-10)\pm \sqrt{( -10)^2-4(1)(25)}}{2(1)}$$

$$=\frac{10\pm \sqrt{100-100}}{2}$$

$$=\frac{10\pm \sqrt{0}}{2}$$

$$=\frac{10}{2}$$

$latex x=5$

Neste caso, temos uma única raiz repetida $latex x=5$.

Primeiro, precisamos simplificar esta equação e escrevê-la na forma $latex ax^2+bx+c=0$:

$latex 4x^2+5=2x^2+20$

$latex 4x^2-2x^2+5-20=0$

$latex 2x^2-15=0$

Agora, podemos ver que é uma equação quadrática incompleta que não tem o termo bx. Então, podemos resolvê-la resolvendo para x² e tirando a raiz quadrada de ambos os lados:

$latex 2x^2-15=0$

$latex 2x^2=15$

$latex x^2=\frac{15}{2}$

$latex x=\pm \sqrt{\frac{15}{2}}$

Para resolver a equação, temos que começar escrevendo-a na forma $latex ax^2+bx+c=0$. Então temos:

$latex 5x^2+5x=2x^2+10x$

$latex 5x^2-2x^2+5x-10x=0$

$latex 3x^2-5x=0$

Vemos que é uma equação incompleta que não tem o termo c. Então, podemos resolvê-la fatorando x:

$latex 3x^2-5x=0$

$latex x(3x-5)=0$

$latex x=0~~$ ou $latex ~~3x-5=0$

$latex x=0~~$ ou $latex ~~x=\frac{5}{3}$

Para usar a fórmula de Bhaskara, temos que começar escrevendo a equação na forma $latex ax^2+bx+c=0$:

$latex 3x^2+5x-4=x^2-2x$

$latex 2x^2+7x-4=0$

Agora, temos os coeficientes $latex a=2$, $latex b=7$ e $latex c=-4$. Então, usando esses valores na fórmula de Bhaskara, temos:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

$$x=\frac{-(7)\pm \sqrt{( 7)^2-4(2)(-4)}}{2(2)}$$

$$=\frac{-7\pm \sqrt{49+32}}{4}$$

$$=\frac{-7\pm \sqrt{81}}{2}$$

$$=\frac{-7\pm 9}{2}$$

$$=-8 \text{ ou }1$$

As soluções da equação são $latex x=-8$ e $latex x=1$.

Para resolver esta equação, precisamos expandir os parênteses e simplificar para a forma $latex ax^2+bx+c=0$. Então temos:

$$(3x+1)(2x-1)-(x+2)^2=5$$

$$6x^2-x-1-(x^2+4x+4)=5$$

$latex 5x^2-5x-5=5$

$latex 5x^2-5x-10=0$

Agora podemos resolver por fatoração:

$latex 5x^2-5x-10=0$

$latex 5(x^2-x-2)=0$

$latex 5(x+1)(x-2)=0$

$latex x+1=0~~$ ou $latex ~~x-2=0$

$latex x=-1~~$ ou $latex ~~x=2$

Temos que começar escrevendo a equação na forma $latex ax^2+bx+c=0$:

$latex -x^2+3x+1=-2x^2+6x$

$latex x^2-3x+1=0$

Agora, vemos que o coeficiente b nesta equação é igual a -3. Então temos:

$$\left(\frac{b}{2}\right)^2=\left(\frac{-3}{2}\right)^2$$

Adicionando e subtraindo esse valor à equação quadrática, temos:

$$x^2-3x+1=x^2-2x+\left(\frac{-3}{2}\right)^2-\left(\frac{-3}{2}\right)^2+1$$

Completando o quadrado e simplificando, temos:

$latex = (x-\frac{3}{2})^2-\left(\frac{-3}{2}\right)^2+1$

$latex = (x-\frac{3}{2})^2-\frac{5}{4}$

Agora, escrevemos a equação da seguinte forma:

$latex ⇒ (x-\frac{3}{2})^2=\frac{5}{4}$

Tirando a raiz quadrada de ambos os lados, temos:

⇒ $latex x-\frac{3}{2}=\sqrt{\frac{5}{4}}$

⇒ $latex x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2}$

Resolvendo, temos:

⇒ $latex x=\frac{3}{2}\pm \frac{\sqrt{5}}{2}$

Podemos usar os valores $latex a=5$, $latex b=4$, e $latex c=10$ na fórmula de Bhaskara:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

$$x=\frac{-(4)\pm \sqrt{( 4)^2-4(5)(10)}}{2(5)}$$

$$=\frac{-5\pm \sqrt{16-200}}{10}$$

$$=\frac{-5\pm \sqrt{-184}}{10}$$

Podemos ver que temos um número negativo dentro da raiz quadrada. $latex \sqrt{-184}$ não é um número real, então a equação não tem raízes reais.

Esta equação não parece ser quadrática à primeira vista. No entanto, podemos multiplicá-la por $latex x(x-1)$ para eliminar as frações e temos:

$$\frac{4}{x-1}+\frac{3}{x}=3$$

$$4x+3(x-1)=3x(x-1)$$

$$4x+3x-3=3x^2-3x$$

$latex 3x^2-10x+3=0$

Agora, podemos fatorar esta equação para resolvê-la:

$latex 3x^2-10x+3=0$

$latex (3x-1)(x-3)=0$

$latex 3x-1=0~~$ ou $latex ~~x-3=0$

$latex x=\frac{1}{3}~~$ ou $latex ~~x=3$

Para simplificar frações, podemos fazer uma multiplicação cruzada para obter:

$$ (2x+1)(x+7)=(3x-1)(x+5)$$

Expandindo e simplificando, temos:

$$ 2x^2+15x+7=3x^2+14x-5 $$

$latex x^2-x-12=0$

Fatorando e resolvendo, temos:

$latex (x+3)(x-4)=0$

$latex x+3=0~~$ ou $latex ~~x-4=0$

$latex x=-3~~$ ou $latex ~~x=4$

Para resolver esse problema, podemos formar equações usando as informações da declaração. Usamos as letras X (número menor) e Y (número maior) para representar os números:

$latex X+Y=17~~[1]$

$latex XY=60~~[2]$

Escrevendo a equação 1 como $latex Y=17-X$ e substituindo-a na segunda equação, temos:

$latex X(17-X)=60$

Podemos expandir e escrever na forma $latex ax^2+bx+c=0$:

$latex 17X-X^2=60$

$latex X^2-17X+60=0$

Agora podemos resolver a equação fatorando:

$latex X^2-17X+60=0$

$latex (X-12)(X-5)=0$

$latex X-12=0~~$ ou $latex ~~X-5=0$

$latex X=12~~$ ou $latex ~~X=5$

Então temos:

• Se $latex X=5$, temos $latex Y=17-5=12$. Esta solução é a correta porque X<Y.
• Se $latex X=12$, temos $latex Y=17-12=5$

Os números são 12 e 5.

Para resolver este problema, temos que usar as informações fornecidas para formar equações. Vamos representar o lado menor com x. Isso significa que o lado maior é igual a x+7.

Agora considerando que a área de um retângulo é encontrada multiplicando os comprimentos de seus lados, temos:

$latex x(x+7)=78$

Expandindo e escrevendo a equação na forma $late ax^2+bx+c=0$, temos:

$latex x^2+7x-78=0$

Resolvendo por fatoração, temos:

$latex (x+13)(x-6)=0$

$latex x+13=0~~$ ou $latex ~~x-6=0$

$latex x=-13~~$ ou $latex ~~x=6$

Como não podemos ter comprimentos negativos, temos $latex x=6$, então os comprimentos são 6 e 13.