Equação da Parábola com Vértice na Origem

Uma parábola é uma seção cônica formada quando um cone circular é cortado por um plano. Para que a parábola seja formada, o plano que cruza o cone deve ser paralelo a um dos lados do cone. Uma parábola é definida pelo conjunto de todos os pontos (x, y) que estão localizados à mesma distância de uma linha, chamada de diretriz, e um ponto fixo (o foco) que não está na diretriz.

A seguir, conheceremos um pouco sobre essas seções cônicas e aprenderemos a equação da parábola quando o vértice está localizado na origem. Vamos resolver alguns exercícios para aplicar esses conceitos.

PRÉ-CÁLCULO

Relevante para…

Aprender sobre a equação da parábola que tem um vértice na origem.

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Parábolas com vértice na origem

Pela álgebra, sabemos que uma parábola tem a equação geral $latex y = {{x}^2}$. O gráfico desta parábola tem o vértice em (0, 0) e um eixo de simetria em $latex x = 0$.

No entanto, também é possível definir uma parábola de uma maneira diferente, uma vez que as parábolas têm como principal propriedade que cada ponto na parábola seja equidistante de outro ponto, chamado de foco, e de uma linha chamada diretriz.

O foco da parábola está localizado em seu eixo de simetria e o vértice está no meio entre o foco e a diretriz. Além disso, a diretriz é perpendicular ao eixo de simetria. Podemos observar isso no diagrama a seguir:

A equação mais comum para descrever uma parábola está na forma $latex y = a {{x}^2}$. Vamos reescrever esta equação para obter uma equação da forma $latex {{x}^2} = 4py$, onde p é usado para encontrar o foco e a diretriz.

Além disso, também traçaremos uma parábola com orientação horizontal para que a equação seja $latex {{y}^2} = 4px$.

Nos diagramas podemos ver que em todos os casos o vértice é (0, 0). Quando a parábola é aberta para cima ou para baixo, vemos que x é ao quadrado. Por outro lado, quando a parábola é aberta para a esquerda ou para a direita, y é ao quadrado.

Além disso, quando o valor de p é positivo, o foco está localizado na parte positiva dos eixos e a parábola abre para cima ou para a direita.

Por outro lado, quando o valor de p é negativo, o foco está localizado na parte negativa dos eixos e a parábola abre para baixo ou para a esquerda.

Gráficos de parábolas com vértice na origem na forma padrão

Vamos encontrar o foco e a diretriz da parábola $latex {{y}^2} = – 8x$. Além disso, vamos determinar se a parábola abre para cima, para baixo, para a esquerda ou para a direita. A seguir, faremos um gráfico da parábola.

Para encontrar o foco e a diretriz, temos que começar encontrando p. Podemos formar a equação $latex -8 = 4p$ e resolver para p:

$latex -8=4p$

$latex p=-2$

Temos y ao quadrado, portanto sabemos que a parábola se abre para a esquerda ou para a direita. Além disso, como p é negativo, sabemos que a parábola deve abrir para o lado negativo do eixo x. Portanto, o foco é (-2, 0) e a diretriz é $latex x = 2$.

Para representar graficamente a parábola, temos que desenhar o foco e a diretriz. Então encontramos pelo menos dois pontos na parábola para que a curva fique correta.

Nesse caso, como o ponto (-2, 4) faz parte da parábola, o ponto (-2, -4) também faz parte da parábola por ser simétrico. Então, temos:

Exercícios de equações de parábolas com vértice na origem resolvidos

Os exercícios a seguir são resolvidos aplicando o que foi aprendido sobre equações de parábolas em sua forma padrão. Esses exercícios podem ser usados para reforçar o que foi aprendido.

EXERCÍCIO 1

Se o foco da parábola é (0, 2), qual é a sua equação?

Solução

O vértice da parábola é (0, 0). Isso significa que o valor de p é o valor de y e é positivo, então a parábola se abrirá. Portanto, a equação geral é $latex {{x}^2} = 4py$.

Se substituirmos 2 por p, temos:

$latex {{x}^2}=4(2)y$

$latex {{x}^2}=8y$

EXERCÍCIO 2

Qual é o foco e a diretriz da parábola $latex y = \frac{1}{2} {{x}^2}$?

Solução

Para encontrar o foco e a diretriz, temos que resolver $latex {{x}^2}$ e encontrar p . Então, temos:

$latex y=\frac{1}{2}{{x}^2}$

$latex 2y={{x}^2}$

Agora, formamos a equação $latex 2 = 4p$ e resolvemos para p:

$latex 2=4p$

$latex p=\frac{1}{2}$

Então, o foco é $latex (0, \frac{1}{2})$ e a diretriz é $latex y=-\frac{1}{2}$.

EXERCÍCIO 3

Encontre a equação da parábola com a diretriz $latex x = -2$.

Solução

Se a diretriz for negativa e vertical, sabemos que a equação deve ser $latex {{y}^2} = 4px$ e que a parábola deve abrir para a direita, então p é positivo: $latex p = 2$. Então, a equação da parábola é:

$latex {{y}^2}=4(2)x$

$latex {{y}^2}=8x$