As parábolas são seções cônicas obtidas quando um cone é cortado por um plano. O plano que cruza o cone deve ser paralelo a um lado do cone. As parábolas também são definidas como o conjunto de pontos (x, y) que são equidistantes de uma linha, chamada de diretriz, e um ponto fixo, chamado de foco.
A seguir, aprenderemos a determinar as equações de parábolas que possuem um vértice fora da origem. Além disso, conheceremos como representar graficamente as parábolas a partir das equações.
PRÉ-CÁLCULO
Relevante para…
Conhecer sobre a equação da parábola que tem um vértice fora da origem.
PRÉ-CÁLCULO
Relevante para…
Conhecer sobre a equação da parábola que tem um vértice fora da origem.
Parábolas com vértice fora da origem
As parábolas nem sempre têm seu vértice no ponto (0, 0). Muitas vezes, as parábolas têm seu vértice fora da origem no ponto $latex (h, k)$.
Lembre-se de que a equação de uma parábola quando o vértice está localizado na origem é $latex {{x}^2} = 4py$ ou $latex {{y}^2} = 4px$. Além disso, lembre-se de que a forma do vértice de uma parábola é $latex y = a {{(x-h)}^2} -k$.
Combinando essas equações, podemos obter equações para parábolas com vértice fora da origem.
Começamos resolvendo para $latex {{(x-h)}^2}$:
$latex y=a{{(x-h)}^2}-k$
$latex {{(x-h)}^2}=\frac{1}{a}(y-k)$
Além disso, temos a equação $latex {{x}^2} = 4py$. Comparando essas duas equações, temos $latex 4p = \frac{1}{a}$. Então:
$latex {{(x-h)}^2}=4p(y-k)$
Se a parábola for orientada horizontalmente, a equação será $latex {{(y-k)}^2} = 4p (x-h)$. Os valores de h e k sempre permanecem próximos aos valores de x e y, respectivamente.
Nos diagramas podemos ver que, dependendo de qual variável é ao quadrado, a parábola é orientada horizontalmente ou verticalmente. Quando x é quadrado, a parábola é orientada verticalmente e quando y é quadrado, a parábola é orientada horizontalmente.
Além disso, se o valor de p for maior que zero, a parábola se abre para cima ou para a direita, ou seja, para a parte positiva dos eixos.
Por outro lado, quando o valor de p é negativo, a parábola abre para a esquerda ou para baixo, ou seja, para a parte negativa dos eixos.
Gráficos de parábolas com vértice fora da origem na forma padrão
Vamos analisar a equação $latex {{(y-3)}^2} = 8 (x + 2)$. Temos que começar encontrando o vértice, o eixo de simetria, o foco e a diretriz. Em seguida, determinaremos se a parábola se abre para cima, para baixo, para a direita ou para a esquerda.
Como y é quadrado, sabemos que a parábola está orientada horizontalmente e se abre para a direita ou esquerda. Além disso, como p, neste caso 8, é positivo, sabemos que a parábola deve abrir para a direita.
Usando a equação geral $latex {{(y-k)}^2} = 4p (x-h)$, sabemos que o vértice é o ponto $latex (h, k)$. Nesse caso, o vértice é (-2, 3) e o eixo de simetria é $latex y = 1$. Além disso, ao formar a equação $latex 4p = 8$, sabemos que $latex p = 2$.
Adicionando p ao valor x do vértice, temos o foco, (0, 3). Subtraindo p do valor x do vértice, temos a diretriz, $latex x = -4$.
Além dos pontos críticos encontrados, temos que determinar um par de pontos simétricos que fazem parte da curva para representar graficamente a parábola corretamente. Se tivermos $latex x = 6$, teremos $latex y = 11$ e $latex y = -5$. Isso significa que ambos os valores fazem parte da parábola.
Exercícios de equações de parábolas com vértice fora da origem resolvidos
As equações das parábolas que têm seu vértice fora da origem são utilizadas para resolver os exercícios seguintes. Tente resolver os exercícios sozinho antes de ver a resposta.
EXERCÍCIO 1
Qual é a equação da parábola que tem um vértice em (-2, 4) e sua diretriz é $latex y = 7$?
Solução
Temos que começar determinando a orientação da parábola. Como a diretriz é horizontal, sabemos que a parábola se abrirá para cima ou para baixo.
Além disso, sabemos que a diretriz está localizada acima do vértice, o que significa que a parábola abre para baixo e p será negativo.
Usamos o vértice $latex (h, k)$ para encontrar o valor de p . A equação para uma diretriz horizontal é $latex y = k-p$. Então, temos:
$latex 7=4-p$
$latex 3=-p$
$latex p=-3$
Usando a forma geral, temos a seguinte equação para a parábola:
$latex {{(x-h)}^2}=4p(y-k)$
$latex {{(x-(-2))}^2}=4(-3)(y-4)$
$latex {{(x+2)}^2}=-12(y-4)$
EXERCÍCIO 2
Encontre o vértice, o foco, o eixo de simetria e a diretriz de $latex {{(x + 3)}^2} = 4 (y + 4)$.
Solução
Comparando esta equação com a equação geral, sabemos que o vértice é $latex (-3, -4)$. Além disso, sabemos que a parábola se abre para cima, pois x é ao quadrado e p é positivo.
Podemos formar a equação $latex 4p = 4$. Resolvendo isso, temos $latex p = 1$. Portanto, o foco é $latex (-3, -4 + 1) = (- 3, -3)$. O eixo de simetria é $latex x = -3$ e a diretriz é $latex y = -3-1 = -4$.
EXERCÍCIO 3
Encontre a equação da parábola que tem um vértice em (-5, -1) e um foco em (-8, -1).
Solução
Como o vértice é $latex (-5, -1)$, sabemos que temos $latex h = -5$ e $latex k = -1$. Além disso, o foco é (-8, -1), o que significa que a parábola será horizontal, pois as coordenadas em y do vértice e o foco são as mesmas. Isso significa que p é subtraído ou adicionado de h.
O foco é igual a $latex (h + p, k) = (- 8, -1)$. A partir disso, temos o seguinte:
$latex h+p=-8$
$latex -5+p=-8$
$latex p=-3$
Então, a equação da parábola é:
$latex {{(y-k)}^2}=4p(x-h)$
$latex {{(y-(-1))}^2}=4(-3)(x-(-5))$
$latex {{(y+1)}^2}=-12(x+5)$
Veja também
Você quer aprender mais sobre equações de parábolas? Olha para estas páginas:
Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
