As assíntotas das hipérboles são linhas retas das quais a curva se aproxima à medida que os valores da variável independente (x) aumentam. Os ramos da hipérbole aproximam-se das assíntotas, mas nunca as tocam. Todas as hipérboles têm duas assíntotas, que se cruzam no centro da hipérbole. As equações das assíntotas podem ter quatro variações diferentes, dependendo da localização do centro e da orientação da hipérbole.
A seguir, exploraremos as equações das hipérboles junto com alguns exercícios práticos.
Assíntotas de hipérboles centradas na origem
As hipérboles centradas na origem podem ser orientadas horizontal ou verticalmente. Dependendo disso, a equação de uma hipérbole será diferente.
Lembre-se de que uma hipérbole centrada na origem e orientada horizontalmente tem a equação:
$latex \frac{{{x}^2}}{{{a}^2}}-\frac{{{y}^2}}{{{b}^2}}=1$
onde, a é o comprimento da distância do centro ao vértice e b é o comprimento da distância do centro ao co-vértice. Esta equação se aplica quando o eixo transversal (segmento que conecta os vértices) está no eixo x. Neste caso, as equações das assíntotas são:
Quando a hipérbole está centrada na origem e orientada verticalmente, sua equação é:
$latex \frac{{{y}^2}}{{{a}^2}}-\frac{{{x}^2}}{{{b}^2}}=1$
Esta equação se aplica quando o eixo transversal está no eixo y. Neste caso, as equações das assíntotas são:
$latex y=\pm \frac{a}{b}x$
Assíntotas de hipérboles centradas fora da origem
Quando a hipérbole está centrada fora da origem, podemos aplicar translações para obter uma nova equação. Se a hipérbole for orientada horizontalmente, sua equação é:
$latex \frac{{{(x-h)}^2}}{{{a}^2}}-\frac{{{(y-k)}^2}}{{{b}^2}}=1$
onde, h é a coordenada x do centro e k é a coordenada y do centro. Esta equação se aplica quando o eixo transversal (segmento que conecta os vértices) é paralelo ao eixo x. As equações das assíntotas neste caso são:
$latex y-k=\pm \frac{b}{a}(x-h)$
Por outro lado, se a hipérbole é orientada verticalmente, sua equação é:
$latex \frac{{{(y-k)}^2}}{{{a}^2}}-\frac{{{(x-h)}^2}}{{{b}^2}}=1$
Esta equação se aplica quando o eixo transversal é paralelo ao eixo y. As equações das assíntotas neste caso são:
$latex y-k=\pm \frac{a}{b}(x-h)$
Exercícios de assíntotas de hipérboles resolvidos
Com os exercícios a seguir, você pode analisar o processo usado para encontrar as equações das assíntotas das hipérboles. Cada exercício tem sua respectiva solução, mas é recomendável que você tente resolver os exercícios antes de olhar a resposta.
EXERCÍCIO 1
Qual é a equação das assíntotas da hipérbole $latex \frac{{{x}^2}}{36} – \frac{{{y}^2}}{16} = 1$?
Solução
Podemos ver que a equação tem a forma $latex \frac{{{x}^2}}{{{a}^2}}-\frac{{{y}^2}}{{{b}^2}}=1$. Isso significa que a hipérbole está centrada na origem e orientada horizontalmente. Portanto, a equação de suas assíntotas é:
$latex y=\pm \frac{b}{a}x$
A partir da equação, identificamos os seguintes valores:
$latex {{a}^2}=36$
$latex a=6$
$latex {{b}^2}=16$
$latex b=4$
Substituindo esses valores na equação das assíntotas, temos:
$latex y=\pm \frac{4}{6}x$
$latex y=\pm \frac{2}{3}x$
EXERCÍCIO 2
Se uma hipérbole tem a equação $latex \frac{{{y}^2}}{25} – \frac{{{x}^2}}{9} = 1$, quais são suas assíntotas?
Solução
Neste caso, a equação tem a forma $latex \frac{{{y}^2}}{{{a}^2}}-\frac{{{x}^2}}{{{b}^2}}=1$. Portanto, a hipérbole é centrada na origem e orientada verticalmente. Portanto, a equação de suas assíntotas é:
$latex y=\pm \frac{a}{b}x$
A partir da equação, identificamos os seguintes valores:
$latex {{a}^2}=25$
$latex a=5$
$latex {{b}^2}=9$
$latex b=3$
Usando esses valores na equação das assíntotas, temos:
$latex y=\pm \frac{5}{3}x$
EXERCÍCIO 3
Qual é a equação das assíntotas da hipérbole $latex \frac{{{(x-2)}^2}}{64} – \frac{{{(y-3)}^2}}{25} = 1$?
Solução
A equação da hipérbole tem a forma $latex \frac{{{(x-h)}^2}}{{{a}^2}}-\frac{{{(y-k)}^2}}{{{b}^2}}=1$. Esta hipérbole é centrada em ( h, k ) e é orientada horizontalmente. Portanto, a equação de suas assíntotas é:
$latex y-k=\pm \frac{b}{a}(x-h)$
Temos os seguintes valores:
$latex {{a}^2}=64$
$latex a=8$
$latex {{b}^2}=25$
$latex b=5$
Usando esses valores na equação para as assíntotas, temos:
$latex y-3=\pm \frac{5}{8}(x-2)$
$latex y=\pm \frac{5}{8}(x-2)+3$
EXERCÍCIO 4
Se uma hipérbole tem a equação $latex \frac{{{(y + 5)}^2}}{25} – \frac{{{(x-2)}^2}}{9} = 1$, quais são suas assíntotas ?
Solução
Neste caso, temos a forma $latex \frac{{{(y-k)}^2}}{{{a}^2}}-\frac{{{(x-h)}^2}}{{{b}^2}}=1$. Portanto, temos o centro em ( h, k ) e a hipérbole é orientada verticalmente. Portanto, a equação de suas assíntotas é:
$latex y-k=\pm \frac{a}{b}(x-h)$
Temos os seguintes valores:
$latex {{a}^2}=25$
$latex a=5$
$latex {{b}^2}=9$
$latex b=3$
Substituímos esses dados na equação das assíntotas:
$latex y+5=\pm \frac{5}{3}(x-2)$
$latex y=\pm \frac{5}{3}(x-2)-5$
Exercícios de assíntotas de hipérboles para resolver
Resolva os exercícios a seguir praticando o que aprendeu sobre assíntotas de hipérbole. Se precisar de ajuda com isso, você pode consultar os exercícios resolvidos acima para orientação.
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
