O volume de uma pirâmide quadrada é obtido multiplicando a área da base da pirâmide pela sua altura e dividindo o produto por três. Por outro lado, a área de uma pirâmide quadrada é definida como a soma das áreas de todas as faces da pirâmide.
A seguir, vamos aprender as fórmulas que podemos usar para calcular o volume e a área das pirâmides quadradas. Depois, vamos usar estas fórmulas para resolver alguns exercícios práticos.
GEOMETRIA
Relevante para…
Aprender a calcular o volume e a área de uma pirâmide quadrada.
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Aprender a calcular o volume e a área de uma pirâmide quadrada.
Como calcular o volume da pirâmide quadrada
O volume de qualquer pirâmide é encontrado multiplicando a área de sua base pelo comprimento de sua altura e dividindo por três. Isso significa que temos a seguinte fórmula:
$latex \text{Volume}=\frac{1}{3}\text{Área base}\times \text{Altura}$
Sabemos que a base de uma pirâmide quadrada é um quadrado. Além disso, também sabemos que a área de um quadrado é encontrada pela quadratura de um de seus comprimentos laterais. Portanto, temos a seguinte fórmula:
| $latex V=\frac{1}{3}{{l}^2}\times h$ |
onde, l é o comprimento de um dos lados da base quadrada e h é o comprimento da altura da pirâmide.
Como calcular a área da pirâmide quadrada
A área da pirâmide quadrada é equivalente à soma das áreas de todas as faces da pirâmide. Essas pirâmides têm uma face quadrada na base e quatro faces triangulares laterais. Como a base quadrada tem lados do mesmo comprimento, sua área é igual ao comprimento de um dos lados ao quadrado.
Por outro lado, sabemos que a área de qualquer triângulo é igual a metade do comprimento da base vezes a altura do triângulo. Nas pirâmides quadradas, as bases das faces triangulares são os lados da base quadrada.
Isso significa que as bases das quatro faces triangulares são iguais, portanto suas áreas são iguais. Portanto, temos a seguinte fórmula:
| $latex A_{S}={{l}^2}+2lh$ |
onde, l representa o comprimento de um dos lados da base quadrada e h representa a altura inclinada das faces triangulares.
Exercícios de volume e área de pirâmides quadradas resolvidos
EXERCÍCIO 1
Qual é o volume de uma pirâmide quadrada com 5 m de altura e 4 m de comprimento nas laterais?
Solução
Temos os seguintes comprimentos:
- Lados do quadrado, $latex l=4$
- Altura, $latex h=5$
Portanto, usamos esses valores na fórmula de volume:
$latex V=\frac{1}{3}{{l}^2}\times h$
$latex V=\frac{1}{3}{{(4)}^2}\times (5)$
$latex V=\frac{1}{3}(16)\times (5)$
$latex V=26,67$
O volume é igual a 26,67 m³.
EXERCÍCIO 2
Qual é a área da pirâmide com uma base quadrada com lados de 3 m e faces triangulares de 4 m de altura?
Solução
Temos os seguintes dados:
- Lados de base, $latex l=3$
- Altura dos triângulos, $latex h=4$
Usamos esses dados na fórmula para área da pirâmide:
$latex A_{S}={{l}^2}+2lh$
$latex A_{S}={{3}^2}+2(3)(4)$
$latex A_{S}=9+24$
$latex A_{S}=33$
A área da pirâmide é 33 m².
EXERCÍCIO 3
Se tivermos uma pirâmide com 6 m de altura e uma base quadrada com lados de 5 m, qual é o seu volume?
Solução
Da pergunta, obtemos as seguintes informações:
- Lados do quadrado, $latex l=5$
- Altura, $latex h=6$
Ao substituir esses valores na fórmula do volume, temos:
$latex V=\frac{1}{3}{{l}^2}\times h$
$latex V=\frac{1}{3}{{(5)}^2}\times (6)$
$latex V=\frac{1}{3}(25)\times (6)$
$latex V=50$
O volume é igual a 50 m³.
EXERCÍCIO 4
Se uma pirâmide quadrada tem lados de 5 m de comprimento e faces triangulares de 6 m de altura, qual é sua área?
Solução
Temos as seguintes informações:
- Lados de base, $latex l=5$
- Altura dos triângulos, $latex h=6$
Usamos a fórmula para área da pirâmide com as informações fornecidas:
$latex A_{S}={{l}^2}+2lh$
$latex A_{S}={{5}^2}+2(5)(6)$
$latex A_{S}=25+60$
$latex A_{S}=85$
A área da pirâmide é 85 m².
EXERCÍCIO 5
Qual é o volume de uma pirâmide de 9 m de altura e base quadrada com lados de 8 m de comprimento?
Solução
Observamos as seguintes informações:
- Lados do quadrado, $latex l=8$
- Altura, $latex h=9$
Usando esses valores na fórmula do volume, temos:
$latex V=\frac{1}{3}{{l}^2}\times h$
$latex V=\frac{1}{3}{{(8)}^2}\times (9)$
$latex V=\frac{1}{3}(64)\times (9)$
$latex V=192$
O volume é igual a 192 m³.
EXERCÍCIO 6
Uma pirâmide tem uma base quadrada com 10 m de lados e faces triangulares de 7 m de altura. Qual é a sua área?
Solução
Da pergunta, temos o seguinte:
- Lados de base, $latex l=10$
- Altura dos triângulos, $latex h=7$
Resolvemos usando a fórmula para a área da pirâmide:
$latex A_{S}={{l}^2}+2lh$
$latex A_{S}={{10}^2}+2(10)(7)$
$latex A_{S}=100+140$
$latex A_{S}=240$
A área da pirâmide é 240 m².
EXERCÍCIO 7
Uma pirâmide quadrada tem um volume de 96 m³. Se seus lados têm 6 m de comprimento, qual é o comprimento de sua altura?
Solução
Temos os seguintes dados:
- Lados do quadrado, $latex l=6$
- Volume, $latex V=96$
Neste caso, temos o volume e queremos encontrar o comprimento da altura da pirâmide. Então, usamos a fórmula do volume e resolvemos para h :
$latex V=\frac{1}{3}{{l}^2}\times h$
$latex 96=\frac{1}{3}{{(6)}^2}\times h$
$latex 96=\frac{1}{3}(36)\times h$
$latex 96=12 h$
$latex h=8$
O comprimento da altura é igual a 8 m.
EXERCÍCIO 8
Qual é a área da pirâmide quadrada com lados de 11 m e faces triangulares de 12 m de altura?
Solução
Temos as seguintes informações:
- Lados de base, $latex l=11$
- Altura dos triângulos, $latex h=12$
Usamos a fórmula da área da pirâmide com estes valores:
$latex A_{S}={{l}^2}+2lh$
$latex A_{S}={{11}^2}+2(11)(12)$
$latex A_{S}=121+264$
$latex A_{S}=385$
A área da pirâmide é 385 m².
EXERCÍCIO 9
Se uma pirâmide quadrada tem um volume de 75 m³ e uma altura de 9 m, qual é o comprimento de sua altura?
Solução
Temos as seguintes informações:
- Altura, $latex h=9$
- Volume, $latex V=75$
Usamos a fórmula do volume e resolvemos para l :
$latex V=\frac{1}{3}{{l}^2}\times h$
$latex 75=\frac{1}{3}{{l}^2}\times (9)$
$latex 75=3{{l}^2}$
$latex {{l}^2}=25$
$latex l=5$
O comprimento dos lados é igual a 5 m.
Exercícios de volume e área de pirâmide quadrada para resolver
Se uma pirâmide quadrada tem um volume de 12 m3 e uma altura de 4 m, quais são os comprimentos de seus lados?
Escreva a resposta na caixa.
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
