O volume de uma pirâmide pentagonal é calculado multiplicando a área da base pentagonal pelo comprimento da altura da pirâmide. A área da superfície da pirâmide pentagonal é calculada pela soma das áreas da base pentagonal e das faces laterais triangulares.
A seguir, vamos aprender as fórmulas que podemos usar para calcular o volume e a área das pirâmides pentagonais. Depois, aplicaremos estas fórmulas para resolver alguns exercícios práticos.
GEOMETRIA
Relevante para…
Aprender a calcular o volume e área das pirâmides pentagonais.
GEOMETRIA
Relevante para…
Aprender a calcular o volume e área das pirâmides pentagonais.
Como calcular o volume de uma pirâmide pentagonal
O volume de qualquer pirâmide é calculado multiplicando a área de sua base por sua altura e dividindo o produto por três. Portanto, temos a seguinte fórmula:
$latex V=\frac{1}{3}\text{Área base}\times \text{Altura}$
Por sua vez, essas pirâmides têm uma base pentagonal e a área de um pentágono é calculada usando a seguinte fórmula:
$latex A=1,72{{l}^2}$
onde, l é o comprimento de um dos lados do pentágono.
Esta fórmula é derivada dividindo o pentágono em cinco triângulos e encontrando a área de cada triângulo separadamente.
Usando a expressão para a área de um determinado pentágono, a fórmula para o volume de uma pirâmide torna-se:
| $latex V=\frac{1,72}{3}{{l}^2}h$ |
onde, l é o comprimento de um dos lados da base pentagonal e h é o comprimento da altura da pirâmide.
Como calcular a área da pirâmide pentagonal
A área da pirâmide é calculada somando as áreas de todas as faces de uma figura geométrica. As pirâmides pentagonais têm uma face pentagonal e cinco faces triangulares laterais. Para encontrar a área da face pentagonal, usamos a seguinte fórmula:
$latex A=1,72{{l}^2}$
onde, l representa o comprimento de um dos lados da base pentagonal.
Por outro lado, a área das faces triangulares é encontrada usando a fórmula para a área de qualquer triângulo:
$latex A=\frac{1}{2}bh$
onde, b representa o comprimento da base do triângulo e h representa a altura.
Nas pirâmides pentagonais, as bases das faces triangulares são iguais ao comprimento de um dos lados da base. Além disso, as cinco faces triangulares são congruentes. Isso significa que a fórmula para a área de superfície dessas pirâmides é:
$latex A_{s}=1,72{{l}^2}+5(\frac{1}{2}bh)$
$latex A_{s}=1,72{{l}^2}+(\frac{5}{2}lh)$
Exercícios de volume e área de pirâmides pentagonais resolvidos
EXERCÍCIO 1
Qual é o volume de uma pirâmide que tem uma base pentagonal de 1 m e uma altura de 3 m?
Solução
Temos o seguinte:
- Lados do pentágono, $latex l=1$
- Altura, $latex h=3$
Usamos a fórmula de volume com estes valores:
$latex V=\frac{1,72}{3}{{l}^2}h$
$latex V=\frac{1,72}{3}{{(1)}^2}(3)$
$latex V=\frac{1,72}{3}(1)(3)$
$latex V=1,72$
O volume é 1,72 m³.
EXERCÍCIO 2
Qual é a área da pirâmide pentagonal com 5 m de altura e lados com comprimento de 1 m?
Solução
Temos os comprimentos $latex h = 5$ e $latex l = 1$. Usando a fórmula da área com esses valores, temos:
$latex A_{s}=1,72{{l}^2}+\frac{5}{2}lh$
$latex A_{s}=1,72{{(1)}^2}+\frac{5}{2}(1)(5)$
$latex A_{s}=1,72+12,5$
$latex A_{s}=14,22$
A área da pirâmide é igual a 14,22 m².
EXERCÍCIO 3
Uma pirâmide pentagonal tem uma base com lados de 2 m de comprimento e 5 m de altura. Qual é o seu volume?
Solução
Temos estes valores:
- Lados do pentágono, $latex l=2$
- Altura, $latex h=5$
Substituímos esses valores na fórmula do volume:
$latex V=\frac{1,72}{3}{{l}^2}h$
$latex V=\frac{1,72}{3}{{(2)}^2}(5)$
$latex V=\frac{1,72}{3}(4)(5)$
$latex V=11,47$
O volume é 11,47 m³.
EXERCÍCIO 4
Se uma pirâmide tem uma altura de 6 m e uma base pentagonal com lados de 2 m, qual é a sua área?
Solução
Observamos os comprimentos $latex h = 6$ e $latex l = 2$. Se usarmos esses valores na fórmula da área, temos:
$latex A_{s}=1,72{{l}^2}+\frac{5}{2}lh$
$latex A_{s}=1,72{{(2)}^2}+\frac{5}{2}(2)(6)$
$latex A_{s}=6,88+30$
$latex A_{s}=36,88$
A área é igual a 36,88 m².
EXERCÍCIO 5
Se uma pirâmide pentagonal tem lados com 3 m de comprimento e 6 m de altura, qual é o seu volume?
Solução
Temos o seguinte:
- Lados do pentágono, $latex l=3$
- Altura, $latex h=6$
Usamos a fórmula de volume com estes valores:
$latex V=\frac{1,72}{3}{{l}^2}h$
$latex V=\frac{1,72}{3}{{(3)}^2}(6)$
$latex V=\frac{1,72}{3}(9)(6)$
$latex V=30,96$
O volume é 30,96 m³.
EXERCÍCIO 6
Qual é a área de uma pirâmide pentagonal com lados de 4 m e altura de 10 m?
Solução
Usamos os comprimentos $latex h = 10$ e $latex l = 4$ na fórmula da área. Então, temos:
$latex A_{s}=1,72{{l}^2}+\frac{5}{2}lh$
$latex A_{s}=1,72{{(4)}^2}+\frac{5}{2}(4)(10)$
$latex A_{s}=27,52+100$
$latex A_{s}=127,52$
A área é igual a 127,52 m².
EXERCÍCIO 7
Uma pirâmide tem uma base pentagonal com lados de 5 m de comprimento e 12 m de altura. Qual é o seu volume?
Solução
Da pergunta, obtemos os seguintes comprimentos:
- Lados do pentágono, $latex l=5$
- Altura, $latex h=12$
Se substituirmos esses valores na fórmula do volume, temos:
$latex V=\frac{1,72}{3}{{l}^2}h$
$latex V=\frac{1,72}{3}{{(5)}^2}(12)$
$latex V=\frac{1,72}{3}(25)(12)$
$latex V=172$
O volume é 172 m³.
EXERCÍCIO 8
Se uma pirâmide pentagonal tem lados com 6 m de comprimento e 12 m de altura, qual é sua área?
Solução
Substituímos os comprimentos $latex h = 12$ e $latex l = 6$ na fórmula para a área de superfície:
$latex A_{s}=1,72{{l}^2}+\frac{5}{2}lh$
$latex A_{s}=1,72{{(6)}^2}+\frac{5}{2}(6)(12)$
$latex A_{s}=61,92+180$
$latex A_{s}=141,92$
A área é igual a 141,92 m².
Exercícios de volume e área da pirâmide pentagonal para resolver
Qual é o volume de uma pirâmide pentagonal com lados de comprimento 6 m e altura de comprimento 13 m?
Escreva a resposta usando duas casas decimais.
Veja também
Você quer aprender mais sobre pirâmides geométricas? Olha para estas páginas:
Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
