Ângulos verticais são formados na interseção de duas retas. O teorema dos ângulos verticais nos diz que os ângulos verticais formados em uma interseção são iguais. Além disso, um ângulo vertical e seu ângulo adjacente são ângulos suplementares, pois somam 180 graus.
A seguir, veremos um resumo do Teorema dos Ângulos Verticais. Depois, vamos aplicar este teorema resolvendo vários exercícios práticos.
GEOMETRIA
Relevante para…
Aprender sobre o teorema dos ângulos verticais com exercícios.
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Resumo do Teorema dos Ângulos Verticais
Ângulos verticais são os ângulos formados pela interseção de duas retas. Por exemplo, no diagrama abaixo, temos dois pares de ângulos verticais.
Os ângulos a e b e os ângulos c e d são pares de ângulos verticais.
O teorema dos ângulos verticais nos diz que pares de ângulos verticais têm a mesma medida. Assim, no diagrama mostrado, sabemos que os ângulos a e b e os ângulos c e d são iguais.
Demonstração do teorema dos ângulos verticais
No diagrama abaixo, podemos ver as retas AB e CD, que se cruzam no ponto O. A interseção das retas forma dois pares de ângulos verticais:
- ∠1 e ∠ 2 (ângulos azuis)
- ∠3 e ∠4 (ângulos rosa)
No diagrama, vemos que o raio OA está localizado na reta CD. Assim, podemos usar o axioma dos pares lineares, que nos diz que, se um raio está em uma reta, os ângulos adjacentes formam um par linear de ângulos.
Ou seja, sabemos que os ângulos que formam uma linha reta devem somar 180°. Então temos:
∠1 + ∠3 = 180° (par linear)
Da mesma forma, temos também:
∠3 + ∠2 = 180° (par linear)
Como ambas as equações são iguais a 180°, podemos combiná-las para obter:
∠1 + ∠3 = ∠3 + ∠2
∠1 = ∠2
Isso significa que os ângulos verticais ∠1 e ∠2 são iguais. Assim, provamos o teorema dos ângulos verticais.
Exercícios resolvidos do teorema dos ângulos verticais
EXERCÍCIO 1
Determine a medida de cada um dos ângulos no diagrama abaixo.
Solução
Os ângulos ∠62° e ∠b são um par de ângulos verticais. Então temos:
∠b = 62°
O valor de ∠a pode ser encontrado considerando que se trata de um ângulo suplementar ao ângulo de 62°. Ou seja, esses ângulos somam 180° e temos:
62°+∠a = 180°
∠a = 118°
Finalmente, podemos ver que os ângulos ∠a e ∠c são outro par de ângulos verticais, então temos:
∠c = 118°
EXERCÍCIO 2
Determine as medidas dos ângulos a, b e c no diagrama a seguir:
Solução
Vemos que os ângulos ∠50° e ∠b são um par de ângulos verticais, então temos:
∠b = 50°
Agora, podemos encontrar o valor de ∠a considerando que é um ângulo suplementar ao ângulo ∠50°, então temos:
50°+∠a = 180°
∠a = 130°
Os ângulos ∠a e ∠c são outro par de ângulos verticais, então temos:
∠c = 130°
EXERCÍCIO 3
Qual é o valor de Y no diagrama a seguir?:
Solução
Os ângulos ∠100° e ∠X fazem parte de uma linha reta, portanto são suplementares. Então temos:
100°+∠X = 180°
∠X = 80°
Como os ângulos (Y+30)° e X são verticais opostas, podemos formar a seguinte equação e resolver:
Y+30 = 80
Y = 50°
EXERCÍCIO 4
Qual é o valor de Z no diagrama abaixo?
Solução
Este problema é semelhante ao anterior. Então sabemos que os ângulos ∠X e ∠110° formam uma linha reta, então eles são suplementares. Portanto, temos:
110°+∠X = 180°
∠X = 70°
Também sabemos que os ângulos (Z+10)° e X são verticalmente opostos, então temos:
Z+10 = 70
Z = 60°
EXERCÍCIO 5
Temos os ângulos (5x-11)° e (3x+23)°, que são ângulos verticais opostos. Determine o valor de x e dos ângulos dados.
Solução
Ângulos verticais opostos são iguais, então temos:
5x-11 = 3x+23
5x-3x = 23+11
2x = 34
x = 17
O valor dos ângulos dados é:
3(17)+23 = 74°
EXERCÍCIO 6
Temos que os ângulos (4x-15)° e (3x+22)° são ângulos verticais opostos. Determine o valor de x y dos ângulos dados.
Solução
Os ângulos verticais opostos são iguais, então temos:
4x-15 = 3x+22
4x-3x = 22+15
x = 37
O valor dos ângulos dados é:
4(37)-15 = 133°
Exercícios de teorema dos ângulos verticais para resolver
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
