Retas paralelas são retas que possuem o mesmo declive. Essas retas nunca se cruzam, não importa o quanto sejam estendidas. Por outro lado, retas perpendiculares são duas retas que se cruzam em um ângulo de 90° entre si. Os declives dessas retas são recíprocas negativas uma da outra.
A seguir, aprenderemos tudo relacionado a retas paralelas e perpendiculares. Veremos suas definições, algumas características importantes e alguns exemplos.
Definições de retas paralelas e retas perpendiculares
O que são retas paralelas?
Retas paralelas são duas ou mais retas que se encontram no mesmo plano coordenado e nunca se cruzam. Não importa quanto tempo estendemos duas retas paralelas, elas nunca se tocarão.
O seguinte é um diagrama com dois pares de retas paralelas.
A principal característica de duas ou mais retas paralelas é que elas possuem o mesmo declive. Ou seja, o ângulo de declive das retas paralelas é o mesmo.
O que são retas perpendiculares?
Retas perpendiculares são duas retas que se cruzam em um ângulo de 90°. Ou seja, retas perpendiculares formam um ângulo reto em seu ponto de interseção.
O seguinte é um diagrama de duas retas perpendiculares.
Propriedades de retas paralelas e perpendiculares
Retas paralelas podem ser identificadas porque têm o mesmo declive e nunca se encontram. Por outro lado, as retas perpendiculares podem ser identificadas porque formam uma interseção em forma de «L».
A seguir estão algumas propriedades importantes das retas paralelas:
- Retas paralelas nunca se cruzam.
- A distância entre duas retas paralelas permanece sempre constante.
- Os declives das retas paralelas são os mesmos.
A seguir estão algumas propriedades importantes de retas perpendiculares:
- As retas perpendiculares sempre se cruzam.
- O ângulo de intersecção entre duas retas perpendiculares é sempre de 90°.
- Os declives das retas perpendiculares são recíprocos e negativos um do outro. Ou seja, temos $latex m_{1}=-\frac{1}{m_{2}}$.
- Se uma reta é perpendicular a uma reta paralela a outras retas, então a reta é perpendicular a todas as outras retas.
Como determinar se duas retas são paralelas ou perpendiculares?
Podemos determinar se duas retas são paralelas ou perpendiculares usando os ângulos formados entre as retas ou usando seus declives.
Use os ângulos formados
Para que duas retas sejam perpendiculares, o ângulo de interseção deve ser igual a 90°. Por outro lado, para que as retas sejam paralelas, o ângulo formado pelas retas em relação à horizontal deve ser igual.
Use os declives das retas
Para que duas retas sejam paralelas, seus declives devem ser iguais. Por outro lado, para que duas retas sejam perpendiculares, seus declives devem ser recíprocos negativos um do outro.
Ou seja, para duas retas que possuem declives $latex m_{1}$ e $latex m_{2}$, temos:
Paralelas: $latex m_{1}=m_{2}$
Perpendiculares: $latex m_{1}=-\frac{1}{m_{2}}$
Lembre-se que na equação de uma reta $latex y=mx+b$, m é o declive.
Além disso, se conhecemos dois pontos na reta, seu declive é $latex m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$, onde, $latex (x_ {1},~y_{1})$ e $latex (x_{2},~y_{2})$ são as coordenadas dos pontos.
Exercícios resolvidos de retas paralelas e perpendiculares
A seguir estão alguns exercícios sobre a aplicação de retas paralelas e perpendiculares.
EXERCÍCIO 1
Se tivermos a reta $latex 8x-2y=10$, qual é o declive de uma reta paralela?
Solução: Para que duas retas sejam paralelas, elas devem ter o mesmo declive. Então, temos que encontrar o declive da reta dada.
Para isso, temos que escrever a reta na forma $latex y=mx+b$. Isso significa que resolvemos para y:
$latex 8x-2y=10$
$latex -2y=10-8x$
$latex y=4x-5$
O declive da reta é $latex m=4$. Portanto, o declive da reta paralela também deve ser $latex m=4$.
EXERCÍCIO 2
No diagrama abaixo, as retas $latex l_{1}$ e $latex l_{2}$ são paralelas. Além disso, também temos o ângulo ∠a=25°. Encontre a medida do ângulo b.
Solução: As retas são paralelas, então seu ângulo de inclinação é o mesmo. Isso significa que a reta que corta ambas as retas paralelas deve formar os mesmos ângulos em ambas as retas.
Portanto, podemos mover o ângulo a da primeira reta para a segunda reta. Então, os ângulos a e b são suplementares, ou seja, eles somam 180°. Por tanto, temos:
∠b=180°-25°=155°
O ângulo b mede 155°.
EXERCÍCIO 3
A reta AB no diagrama abaixo é perpendicular à reta CD. Determine o valor do ângulo x.
Solução: As retas perpendiculares formam ângulos de 90° no ponto de interseção. Assim, os ângulos x e 53° devem somar 90°. Formando uma equação e resolvendo, temos:
$latex 53^{\circ}+x=90^{\circ}$
$latex x=90^{\circ}-53^{\circ}$
$latex x=37^{\circ}$
O ângulo x mede 37°.
EXERCÍCIO 4
Se uma reta tem a equação $latex 6x+3y=12$, encontre o declive de uma reta perpendicular.
Solução: Temos que começar encontrando o declive da reta dada. Para isso, escrevemos a reta na forma $latex y=mx+b$:
$latex 6x+3y=12$
$latex 3y=-6x+12$
$latex y=-2x+4$
Vemos que o declive é $latex m_{1}=-2$.
Agora, para encontrar o declive da reta perpendicular, lembramos que as retas perpendiculares têm declives que são recíprocos negativos um do outro.
Então, o declive da reta perpendicular é $latex m_{2}=\frac{1}{2}$
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
