O ângulo de inclinação de uma reta ou o ângulo de declive da reta é o ângulo formado pela reta e sua componente horizontal. Para obter o valor desse ângulo, temos que usar trigonometria, especificamente a função tangente. O ângulo pode ser positivo ou negativo dependendo da direção em que é medido.
A seguir, aprenderemos a calcular o ângulo de declive de uma reta. Veremos sua fórmula, algumas considerações importantes e vários exercícios resolvidos.
Fórmula para o ângulo de declive de uma reta
Para encontrar a fórmula do ângulo de declive de uma linha reta, vamos usar o seguinte diagrama:
Vemos que o diagrama tem um triângulo retângulo ABC formado pelas componentes horizontal e vertical da reta. No diagrama, θ é o ângulo formado pela reta AB e sua componente horizontal.
Usando trigonometria e lembrando que a tangente de um ângulo é igual ao lado oposto sobre o lado adjacente, temos $latex \tan(\theta)=\frac{BC}{AC}$.
Agora, usando o diagrama, podemos ver que $latex \frac{BC}{AC}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$, que é igual para o declive da reta AB.
Então, temos o seguinte:
$$\tan(\theta)=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$$
$$\theta=\tan^{-1}\left(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\right)$$
Observações importantes:
- Se $latex m$ é o declive da reta AB, então o ângulo de declive da reta é igual a $latex \tan^{-1}(m)$.
- Quando o resultado de $latex \tan^{-1}(m)$ é negativo, o ângulo θ é medido da reta horizontal até a reta no sentido horário.
Ângulo de declive de uma reta – Exercícios resolvidos
A fórmula do ângulo de declive de uma reta reta é usada para resolver os exercícios a seguir. Tente resolver os exercícios antes de olhar para a solução.
EJERCICIO 1
Encontre o ângulo formado pela reta com os pontos A=(-7, -5) e B=(5, -3) em relação à horizontal.
Solução
Obtendo um gráfico simples, temos:
Para encontrar o ângulo θ, vamos usar a fórmula do ângulo de declive de uma reta:
$$\theta=\tan^{-1}\left(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\right)$$
$$=\tan^{-1}\left(\frac{-3-(-5)}{5-(-7)}\right)$$
$$=\tan^{-1}\left(\frac{-3+5}{5+7}\right)$$
$$=\tan^{-1}\left(\frac{2}{12}\right)$$
$$=\tan^{-1}\left(\frac{1}{6}\right)$$
$$\theta=9,46^{\circ}$$
EXERCÍCIO 2
Encontre o ângulo de declive da reta com os pontos A=(5, -4) e B=(-6, 7).
Solução
Podemos encontrar o ângulo θ, usando a fórmula para o ângulo de declive de uma reta com as coordenadas dos dois pontos dados:
$$\theta=\tan^{-1}\left(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\right)$$
$$=\tan^{-1}\left(\frac{7-(-4)}{-6-5}\right)$$
$$=\tan^{-1}\left(\frac{7+4}{-6-5}\right)$$
$$=\tan^{-1}\left(\frac{11}{-11}\right)$$
$$=\tan^{-1}\left(-1\right)$$
$$\theta=-45^{\circ}$$
EXERCÍCIO 3
Uma reta passa pelos pontos A=(7, -2) e B=(3, -5). Encontre o ângulo de declive de AB.
Solução
Vamos encontrar o ângulo θ usando a fórmula do ângulo de declive de uma reta com as coordenadas dos pontos dados:
$$\theta=\tan^{-1}\left(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\right)$$
$$=\tan^{-1}\left(\frac{-5-(-2)}{3-7}\right)$$
$$=\tan^{-1}\left(\frac{-5+2}{3-7}\right)$$
$$=\tan^{-1}\left(\frac{-3}{-4}\right)$$
$$=\tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$$
$$\theta=36,9^{\circ}$$
EXERCÍCIO 4
Determine o ângulo de declive da reta que passa pelos pontos A=(6, 7) e B=(12, 7).
Solução
Usando as coordenadas dos pontos na fórmula do ângulo de declive, temos:
$$\theta=\tan^{-1}\left(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\right)$$
$$=\tan^{-1}\left(\frac{7-7}{12-6}\right)$$
$$=\tan^{-1}\left(\frac{0}{6}\right)$$
$$\theta=0^{\circ}$$
Temos um ângulo igual a 0°. Isso significa que a reta é horizontal.
Olhando para as coordenadas y de ambos os pontos, vemos que eles são os mesmos. Isso só acontece quando uma reta é horizontal.
EXERCÍCIO 5
Encontre o ângulo de declive da reta que passa pelos pontos A=(3, 7) e B=(-6, 11).
Solução
Podemos encontrar o ângulo do declive usando a fórmula com as coordenadas dos pontos dados:
$$\theta=\tan^{-1}\left(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\right)$$
$$=\tan^{-1}\left(\frac{11-7}{-6-3}\right)$$
$$=\tan^{-1}\left(-\frac{4}{9}\right)$$
$$\theta=-24^{\circ}$$
EXERCÍCIO 6
Encontre o ângulo formado pela reta que passa pelos pontos A=(5, -3) e B=(5, 2).
Solução
Para encontrar o ângulo θ, usamos as coordenadas dos pontos dados na fórmula do ângulo de declive:
$$\theta=\tan^{-1}\left(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\right)$$
$$=\tan^{-1}\left(\frac{2-(-3)}{5-5}\right)$$
$$=\tan^{-1}\left(\frac{-2-3}{5-5}\right)$$
$$=\tan^{-1}\left(\frac{-5}{0}\right)$$
$$=\tan^{-1}\left(\text{infinito}\right)$$
$$\theta=90^{\circ}$$
Neste caso, obtivemos -5/0, que é igual a infinito. Observando as coordenadas x de ambos os pontos, vemos que ambos são iguais a 5. Isso só acontece quando temos uma reta vertical.
Uma reta vertical é perpendicular à horizontal, então o ângulo é igual a 90°.
Ângulo de declive de uma reta – Exercícios para resolver
Use a fórmula para o ângulo de declive de uma reta para resolver os seguintes exercícios.
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
