Um triângulo equilátero é um triângulo que tem todos os lados de comprimentos iguais. Por exemplo, um triângulo que tem todos os lados de 10 cm de comprimento é um triângulo equilátero. Como todos os três lados são iguais, os três ângulos internos também têm a mesma medida. Portanto, também podemos pensar em um triângulo equilátero como um triângulo que tem três ângulos de 60 graus.
A seguir, veremos uma definição de triângulos equiláteros. Além disso, conheceremos as propriedades fundamentais desses triângulos e veremos algumas de suas fórmulas mais importantes. Finalmente, usaremos essas fórmulas para resolver alguns exercícios.
GEOMETRIA
Relevante para…
Aprender sobre as características dos triângulos equiláteros.
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Aprender sobre as características dos triângulos equiláteros.
Definição de um triângulo equilátero
Como mencionamos na introdução, um triângulo equilátero é um triângulo que tem todos os lados de comprimentos iguais. Além disso, os três ângulos internos de um triângulo equilátero também são congruentes e iguais a 60 graus. O seguinte é um diagrama de um triângulo equilátero:
No triângulo equilátero ABC, temos o seguinte:
$latex AB=BC=AC$
onde AB, BC e AC são os lados do triângulo. E também temos:
∠$latex A=$∠$latex B=$∠$latex C$
Propriedades de triângulos equiláteros
Os triângulos equilaterais têm as seguintes propriedades fundamentais:
- Um triângulo equilátero tem todos os lados iguais.
- Todos os lados internos de um triângulo equilátero medem 60°.
- O triângulo equilátero é um polígono regular com três lados.
- Um triângulo é equilátero apenas se os circuncentros dos três triângulos menores tiverem a mesma distância do centróide.
- Um triângulo é equilátero apenas se os três triângulos menores tiverem o mesmo perímetro.
- O ortocentro e o centroide do triângulo são o mesmo ponto.
- Em um triângulo equilátero, a média, a bissetriz do ângulo e a altura são todos iguais e são as linhas de simetria do triângulo.
Fórmulas importantes para triângulos equiláteros
As fórmulas mais importantes para triângulos equiláteros são a fórmula da área e a fórmula do perímetro.
Área de um triângulo equilátero
Podemos calcular a área de um triângulo equilátero com a seguinte fórmula:
| $latex A= \frac{ \sqrt{3}}{4}{{a}^2}$ |
onde, a é o comprimento de um dos lados do triângulo.
Perímetro de um triângulo equilátero
Podemos encontrar o perímetro de um triângulo equilátero adicionando os comprimentos de todos os lados. Como todos os três lados são iguais, temos:
| $latex p=3a$ |
onde, a é o comprimento de um dos lados do triângulo.
Exemplos de problemas de triângulo equilátero
EXEMPLO 1
- Qual é o perímetro de um triângulo equilátero com lados de 7 m de comprimento?
Solução: Usamos a fórmula do perímetro com $latex a=7$:
$latex p=3a$
$latex p=3(7)$
$latex p=21$
O perímetro do triângulo é de 21 m.
EXEMPLO 2
- O perímetro de um triângulo equilátero é de 48 m. Qual é o comprimento de seus lados?
Solução: Começamos com o perímetro e vamos encontrar o comprimento de seus lados. Então, resolvemos para a:
$latex p=3a$
$latex 48=3a$
$latex a=16$
O comprimento de um dos lados é de 16 m.
EXEMPLO 3
- Qual é a área de um triângulo equilátero com lados de 11 m de comprimento?
Solução: Temos $latex a=11$. Então, usamos a fórmula para a área com este valor:
$latex A= \frac{ \sqrt{3}}{4}{{a}^2}$
$latex A= \frac{ \sqrt{3}}{4}({{11}^2})$
$latex A= \frac{ \sqrt{3}}{4}(121)$
$latex A=52,39$
A área do triângulo equilátero é de 52,39 m².
EXEMPLO 4
- Qual é a área de um triângulo equilátero com lados de 17 m de comprimento?
Solução: Usamos $latex a=17$ na fórmula da área:
$latex A= \frac{ \sqrt{3}}{4}{{a}^2}$
$latex A= \frac{ \sqrt{3}}{4}({{17}^2})$
$latex A= \frac{ \sqrt{3}}{4}(289)$
$latex A=125,14$
A área do triângulo equilátero é 125,14 m².
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
