A altura de um triângulo equilátero é o segmento de reta que une o vértice com seu lado oposto. A altura é a mediatriz do lado oposto ao vértice e divide o triângulo em dois triângulos iguais com ângulos retos. Podemos encontrar uma fórmula para a altura do triângulo equilátero usando o teorema de Pitágoras.
A seguir, conheceremos tudo relacionado à altura de um triângulo equilátero. Aprenderemos como derivar sua fórmula e aplicá-la para resolver alguns exercícios práticos.
GEOMETRIA
Relevante para…
Aprender a encontrar a altura de um triângulo equilátero com exercícios.
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Aprender a encontrar a altura de um triângulo equilátero com exercícios.
Fórmula da altura de um triângulo equilátero
Triângulos equiláteros são triângulos que têm todos os lados do mesmo comprimento. Podemos calcular o comprimento da altura de triângulos equiláteros usando a seguinte fórmula:
| $$h=\frac{\sqrt{3}~a}{2}$$ |
onde, a é o comprimento de um dos lados do triângulo equilátero. Assim, para determinar a altura de um triângulo equilátero, só precisamos saber o comprimento de um de seus lados.
Prova da fórmula para a altura de um triângulo equilátero
Podemos provar a fórmula para a altura de um triângulo equilátero usando o teorema de Pitágoras. Lembremos que o teorema de Pitágoras nos diz que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa:
Hipotenusa2 = lado12+lado22
Agora podemos usar a seguinte figura:
Neste triângulo, os lados têm comprimento a e a altura tem comprimento h. Podemos ver que a altura divide o triângulo em dois triângulos retângulos iguais.
Podemos usar um dos triângulos retângulos para aplicar o teorema de Pitágoras. Em cada triângulo, a hipotenusa é igual a a, a base é igual a a/2 e a altura é igual a h. Então temos:
Hipotenusa2 = lado12+lado22
$$a^2 = h^2+ \left(\frac{a}{2}\right)^2$$
Agora, só temos que resolver esta equação para a altura h:
$$a^2 = h^2+ \left(\frac{a}{2}\right)^2$$
$$ h^2=a^2- \left(\frac{a^2}{4}\right)$$
$$ h^2= \frac{3a^2}{4}$$
$$ h= \frac{\sqrt{3}a}{2}$$
Então, provamos a fórmula para a altura de um triângulo equilátero.
Calcular a altura de um triângulo equilátero com o perímetro
Para encontrar a altura de um triângulo equilátero usando o perímetro, temos que começar determinando o comprimento de um dos lados do triângulo.
Sabemos que os triângulos equiláteros têm todos os lados do mesmo comprimento. Então, podemos simplesmente dividir o perímetro por 3 para encontrar o comprimento de um lado.
Finalmente, aplicamos a fórmula para a altura de um triângulo equilátero usando o comprimento encontrado.
Alternativamente, podemos modificar a fórmula da altura substituindo p=3a ou a=p/3, onde p é o perímetro e a é o comprimento de um dos lados do triângulo. Então temos:
$$ h= \frac{\sqrt{3}a}{2}$$
$$ h= \frac{\sqrt{3}\frac{p}{3}}{2}$$
$$ h= \frac{\sqrt{3}p}{6}$$
Calcular a altura de um triângulo equilátero com a área
Para calcular a altura de um triângulo equilátero com a área, temos que usar a fórmula da área de um triângulo equilátero para determinar o comprimento de um de seus lados.
Lembre-se que a fórmula para a Área de um Triângulo Equilátero é:
$$ A= \frac{\sqrt{3}}{4}~a^2$$
Depois de encontrar o comprimento de um dos lados, podemos simplesmente aplicar a fórmula da altura.
Altura de um triângulo equilátero – Exemplos resolvidos
Os exercícios a seguir são resolvidos usando a fórmula para a altura de um triângulo equilátero. Cada exercício tem sua respectiva solução, mas tente resolver você mesmo os exercícios antes de olhar para a resposta.
EXERCÍCIO 1
Encontre o comprimento da altura de um triângulo equilátero que tem lados de comprimento 2 m.
Solução
Vamos usar a fórmula da altura para encontrar o comprimento que queremos. Substituindo o valor a=2, temos:
$$ h= \frac{\sqrt{3}a}{2}$$
$$ h= \frac{\sqrt{3}(2)}{2}$$
$latex h= \sqrt{3}$
O comprimento da altura do triângulo dado é $latex \sqrt{3}$.
EXERCÍCIO 2
Qual é a altura de um triângulo equilátero que tem lados de 5 cm?
Solução
Usando a fórmula da altura com o valor a=5, temos:
$$ h= \frac{\sqrt{3}a}{2}$$
$$ h= \frac{\sqrt{3}(5)}{2}$$
$latex h= 4,33$
O triângulo equilátero tem uma altura que mede 4,33 cm.
EXERCÍCIO 3
Se a altura de um triângulo equilátero é 6 cm, qual é o comprimento de um de seus lados?
Solução
Neste caso, temos o comprimento da altura e queremos encontrar o comprimento de um dos lados do triângulo. Então, usamos a fórmula da altura e resolvemos para a:
$$ h= \frac{\sqrt{3}a}{2}$$
$$ 6= \frac{\sqrt{3}a}{2}$$
$latex 12= \sqrt{3}a$
$latex a=6,928$
O comprimento de um dos lados do triângulo é 6,928 cm.
EXERCÍCIO 4
Determine o comprimento dos lados de um triângulo equilátero que tem uma altura de 8 m.
Solução
Semelhante ao problema anterior, podemos usar a fórmula da altura e resolver para a:
$$ h= \frac{\sqrt{3}a}{2}$$
$$ 8= \frac{\sqrt{3}a}{2}$$
$latex 16= \sqrt{3}a$
$latex a=9,238$
O triângulo tem lados com um comprimento de 9,238 m.
EXERCÍCIO 5
O perímetro de um triângulo equilátero é igual a 30 cm. Encontre o comprimento de sua altura.
Solução
O perímetro é a soma dos comprimentos dos três lados do triângulo. Em um triângulo equilátero, todos os três lados têm o mesmo comprimento, então podemos dividir o perímetro por 3 para encontrar o comprimento de um de seus lados.
Então sabemos que o comprimento de um dos lados do triângulo é 30/3 = 10. Agora, podemos usar esse comprimento na fórmula da altura e temos:
$$ h= \frac{\sqrt{3}a}{2}$$
$$ h= \frac{\sqrt{3}(10)}{2}$$
$latex h= 8,66$
A altura do triângulo é 8,66 cm.
EXERCÍCIO 6
Determine o comprimento da altura de um triângulo equilátero que tem um perímetro de 21 cm.
Solução
Semelhante ao problema anterior, podemos encontrar o comprimento de um dos lados do triângulo equilátero se dividirmos seu perímetro por 3.
Portanto, os lados do triângulo têm comprimento 18/3 = 6. Usando este valor na fórmula da altura, temos:
$$ h= \frac{\sqrt{3}a}{2}$$
$$ h= \frac{\sqrt{3}(6)}{2}$$
$latex h= 5,196$
A altura do triângulo é 5,196 cm.
EXERCÍCIO 7
Se a área de um triângulo equilátero é igual a 60 cm2, qual é o comprimento de sua altura?
Solução
Para encontrar o comprimento da altura, temos que começar por encontrar o comprimento de um dos lados do triângulo. Para isso, podemos usar a fórmula da área de um triângulo equilátero com o valor dado e resolver para a:
$$ A= \frac{\sqrt{3}}{4}~a^2$$
$$ 60= \frac{\sqrt{3}}{4}~a^2$$
$latex a^2= 138,564$
$latex a= 11,77$
Agora, usamos esse comprimento encontrado na fórmula da altura:
$$ h= \frac{\sqrt{3}a}{2}$$
$$ h= \frac{\sqrt{3}(11,77)}{2}$$
$$ h= 10,193$$
A altura do triângulo é 10,193 cm.
Altura de um triângulo equilátero – Exercícios para resolver
Use tudo o que você aprendeu sobre a altura de um triângulo equilátero para resolver os exercícios a seguir. Selecione sua resposta e clique em “Verificar” para ver se é a solução correta.
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
