O perímetro de um trapézio é o comprimento total do contorno do trapézio. Por outro lado, a área é uma medida do espaço ocupado pelo trapézio. Podemos encontrar o perímetro de um trapézio somando os comprimentos de todos os seus lados, e podemos encontrar sua área somando suas bases, multiplicando por sua altura e dividindo por 2.
A seguir, aprenderemos tudo sobre o perímetro e a área de um trapézio. Vamos conhecer suas fórmulas e usá-las para resolver alguns exercícios práticos.
Como calcular o perímetro de um trapézio?
Para calcular o perímetro de um trapézio, temos que somar o comprimento de todos os seus lados. Então, a fórmula para o perímetro de um trapézio é:
| $latex p=a+b+c+d$ |
onde, “a, b, c, d” representam os comprimentos dos lados do trapézio.
Perímetro de um trapézio isósceles
Em um trapézio isósceles, dois de seus lados têm o mesmo comprimento, então podemos calcular seu perímetro com a seguinte fórmula:
| $latex p=a+b+2c$ |
Como calcular a área de um trapézio?
Para encontrar a área de um trapézio, temos que somar os comprimentos de suas bases. Em seguida, multiplicamos essa soma pela altura do trapézio e dividimos o resultado por 2. Então, a fórmula da área do trapézio é:
| $latex A=\frac{(b_{1}+b_{2})h}{2}$ |
onde,
- $latex b_{1}=$ o comprimento de uma base do trapézio
- $latex b_{2}=$ o comprimento da outra base do trapézio
- $latex h=$ a altura do trapézio
Prova da fórmula para a área de um trapézio
Podemos provar a fórmula para a área de um trapézio usando o seguinte diagrama:
O trapézio pode ser dividido em dois triângulos retângulos e um retângulo. A área do trapézio é igual à soma das áreas dos dois triângulos e a área do retângulo. Então temos que:
área do trapézio = área do triângulo 1 + área do retângulo + área do triângulo 2
$$A=\frac{ah}{2}+b_{1}h+\frac{ch}{2}$$
$$A=\frac{ah+2b_{1}h+ch}{2}$$
Reorganizando os termos e simplificando, temos:
$$A=\frac{h}{2}(b_{1}+(a+b_{1}+c))$$
Agora, vamos usar $latex b_{2}$ para representar a base mais longa do trapézio:
$latex b_{2}=a+b_{1}+c$
Substituindo na equação acima, temos:
$latex A=\frac{h}{2}(b_{1}+b_{2})$
Perímetro e área de um trapézio – Exercícios resolvidos
EXERCÍCIO 1
Se um trapézio tem lados de 6 cm, 8 cm, 5 cm e 7 cm, qual é o seu perímetro?
Solução
Usamos a fórmula para o perímetro de um trapézio com os comprimentos dados:
$latex p=a+b+c+d$
$latex p=6+8+5+7$
$latex p=26$
O perímetro do trapézio é igual a 26 cm.
EXERCÍCIO 2
Qual é a área de um trapézio com bases com comprimentos de 8 cm e 12 cm e altura de 10 cm?
Solução
Temos as seguintes informações:
- Base 1, $latex b_{1}=8$ cm
- Base 2, $latex b_{2}=12$ cm
- Altura, $latex h=10$ cm
Usando a fórmula da área, temos:
$$A=\frac{(b_{1}+b_{2})h}{2}$$
$$=\frac{(8+12)10}{2}$$
$$=\frac{(20)(10)}{2}$$
$$=\frac{200}{2}$$
$latex A=100$
A área do trapézio é igual a 100 cm².
EXERCÍCIO 3
Encontre o perímetro de um trapézio com lados de 12 mm, 14 mm, 7 mm e 9 mm.
Solução
Colocando os comprimentos dados na fórmula do perímetro, temos:
$latex p=a+b+c+d$
$latex p=12+14+7+9$
$latex p=42$
O perímetro do trapézio é igual a 42 mm.
EXERCÍCIO 4
Encontre a área de um trapézio com bases com comprimentos de 11 cm e 15 cm e altura de 12 cm.
Solução
Temos o seguinte:
- Base 1, $latex b_{1}=11$ cm
- Base 2, $latex b_{2}=15$ cm
- Altura, $latex h=12$ cm
Aplicando esses valores na fórmula da área, temos:
$$A=\frac{(b_{1}+b_{2})h}{2}$$
$$=\frac{(11+15)12}{2}$$
$$=\frac{(26)(12)}{2}$$
$$ =\frac{312}{2}$$
$latex A=156$
A área do trapézio é de 156 cm².
EXERCÍCIO 5
Um trapézio isósceles tem dois lados paralelos que medem 11 mm e 13 mm. Se os lados laterais do trapézio medem 9 mm, qual é o seu perímetro?
Solução
Um trapézio isósceles tem dois lados iguais, ou seja, temos c=9. Então temos:
$latex p=a+b+2c$
$latex p=11+13+2(9)$
$latex p=24+18$
$latex p=42$
O perímetro do trapézio é igual a 42 mm.
EXERCÍCIO 6
Encontre a altura de um trapézio com uma área de 200 cm², uma base de 9 cm e a outra base de 11 cm.
Solução
Temos o seguinte:
- Área, $latex A=200$ cm²
- Base 1, $latex b_{1}=9$ cm
- Base 2, $latex b_{2}=11$ cm
Neste caso, temos que usar a fórmula da área e resolver para a altura:
$$A=\frac{(b_{1}+b_{2})h}{2}$$
$$200=\frac{(9+11)h}{2}$$
$latex 400=(9+11)h$
$latex 400=20h$
$latex h=20$
A altura do trapézio é 20 cm.
EXERCÍCIO 7
Um trapézio tem um perímetro de 86 cm e três lados que medem 21 cm, 23 cm e 25 cm. Determine o comprimento do quarto lado.
Solução
Neste caso, temos que usar a fórmula do perímetro com o perímetro e comprimentos fornecidos e vamos resolver para o quarto lado:
$latex p=a+b+c+d$
$latex 86=21+23+25+d$
$latex d=86-21-23-25$
$latex d=17$
O comprimento do quarto lado é de 17 cm.
EXERCÍCIO 8
Se um trapézio tem uma área de 240 m², um comprimento de base de 11 m e o outro comprimento de base de 13 m, encontre sua altura.
Solução
Temos o seguinte:
- Área, $latex A=240$ m²
- Base 1, $latex b_{1}=11$ m
- Base 2, $latex b_{2}=13$ m
Então, usamos a fórmula para a área de um trapézio e resolvemos para h:
$$A=\frac{(b_{1}+b_{2})h}{2}$$
$$240=\frac{(11+13)h}{2}$$
$latex 480=(11+13)h$
$latex 480=24h$
$latex h=20$
A altura do trapézio é de 20 m.
EXERCÍCIO 9
Encontre o comprimento dos lados laterais de um trapézio isósceles que tem um perímetro de 64 cm e os comprimentos de seus lados paralelos são 13 cm e 17 cm.
Solução
Podemos representar o comprimento dos lados laterais com c. Então, colocamos os valores dados na fórmula e resolvemos para c:
$latex p=a+b+2c$
$latex 64=13+17+2c$
$latex 64=30+2c$
$latex 34=2c$
$latex c=17$
O comprimento de um dos lados laterais é de 17 cm.
EXERCÍCIO 10
Encontre a área do seguinte trapézio.
Solução
Este é um trapézio isósceles que tem dois lados laterais iguais. Então, vamos calcular a altura do trapézio como mostrado no diagrama abaixo.
Obtemos as bases dos dois triângulos subtraindo 7 de 15 e dividindo por 2.
⇒ $latex \frac{15-7}{2}=4$ cm
Usando o teorema de Pitágoras, podemos calcular a altura:
$latex {{8}^2}={{h}^2}+{{4}^2}$
$latex 64={{h}^2}+16$
$latex {{h}^2}=48$
$latex h=6.93$ cm
Agora, podemos usar a altura e a base para calcular a área do trapézio:
$$A=\frac{(b_{1}+b_{2})h}{2}$$
$$=\frac{(15+7)6,93}{2}$$
$$=\frac{(22)(6,93)}{2}$$
$latex A=76,23$
A área do trapézio é 76,23 cm².
Perímetro e área de um trapézio – Exercícios para resolver
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
