A forma interceptação-declive de uma reta é uma das formas mais comumente usadas para encontrar a equação de uma reta. Quando conhecemos a interseção em y (b) e o declive da reta (m), podemos usar a forma y=mx+b. A equação da reta satisfaz qualquer ponto localizado na reta.
A seguir, aprenderemos tudo relacionado à forma de interceptação-declive de uma reta. Aprenderemos como derivar sua fórmula e aplicá-la para resolver alguns exercícios práticos.
GEOMETRIA
Relevante para…
Aprender a encontrar a equação de uma reta usando a forma interceptação-declive.
GEOMETRIA
Relevante para…
Aprender a encontrar a equação de uma reta usando a forma interceptação-declive.
Fórmula para a forma interceptação-declive de uma reta
Existem diferentes métodos que podemos usar para determinar a equação de uma reta no plano cartesiano. Tudo vai depender das informações que tivermos disponíveis.
Se conhecermos a interceptação em y e o declive da reta, podemos usar a forma interceptação-declive: y=mx+b.
A interseção y é a coordenada y onde a reta intercepta o eixo y. A interceptação y é representada pela letra b e é comumente dada na forma (0, b).
O declive de uma reta representa a mudança nas coordenadas y em relação às coordenadas x. Um declive positivo indica que a reta aumenta da esquerda para a direita e um declive negativo indica que a reta diminui da esquerda para a direita.
As variáveis x e y permanecem as mesmas quando usamos a fórmula da forma interceptação-declive, pois (x, y) representa todos os pontos que se encontram na reta.
Derivação da fórmula para a forma interceptação-declive de uma reta
Para derivar a fórmula para a forma interceptação-declive de uma reta, vamos usar o seguinte gráfico:
Aqui, temos uma reta com um declive igual a m e que intercepta o eixo y no ponto (0, b). Além disso, consideramos o ponto (x, y), que é um ponto arbitrário que se encontra na reta.
Agora, como os pontos (0, b) e (x, y) são apenas dois pontos na reta, podemos escrever da seguinte forma:
$latex (x_{1},~y_{1})=(0,~b)$
$latex (x_{2},~y_{2})=(x,~y)$
Lembremos que a fórmula do declive de uma reta usando dois pontos é a seguinte:
$$m=\frac{(y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$$
Então, se usarmos esta fórmula para encontrar o declive da reta acima, temos:
$$m=\frac{(y-b)}{(x-0)}$$
$$m=\frac{(y-b)}{x}$$
Podemos resolver esta equação para y:
$$m=\frac{(y-b)}{x}$$
$latex mx=y-b$
$latex y=mx+b$
Assim, deduzimos a fórmula para a forma interceptação-declive de uma reta.
Forma interceptação-declive de uma reta – Exercícios resolvidos
Os exercícios a seguir são resolvidos aplicando a forma interceptação-declive de uma reta. Cada exercício tem sua respectiva solução, mas tente resolver você mesmo os exercícios antes de olhar para a resposta.
EXERCÍCIO 1
Qual é a equação de uma reta com um declive de 1/2 e sua interceptação em y é (0, -2).
Solução
Para encontrar a equação da reta, usamos a forma interceptação-declive com as seguintes informações:
- m = 1/2
- b = -2
$latex y=mx+b$
$latex y=\frac{1}{2}x-2$
A equação da reta dada é $latex y=\frac{1}{2}x-2$.
EXERCÍCIO 2
Qual é a equação de uma reta com um declive de -2 e uma interseção em y de (0, 3)?
Solução
Aplicamos a fórmula da forma interceptação-declive com as seguintes informações:
- m = -2
- b = 3
$latex y=mx+b$
$latex y=-2x+3$
A equação da reta dada é $latex y=-2x+3$.
EXERCÍCIO 3
Qual é a equação de uma reta horizontal que intercepta y em (0, -5)?
Solução
Neste caso, não temos o declive dada explicitamente. No entanto, a linha é indicada como horizontal, e sabemos que uma reta horizontal não tem mudança no eixo y, então seu declive é igual a 0.
Assim, temos as seguintes informações:
- m = 0
- b = -5
Usando a forma interceptação-declive, temos:
$latex y=mx+b$
$latex y=0x-5$
$latex y=-5$
A equação da reta horizontal é $latex y=-5$. Em uma reta horizontal, os valores de y permanecem constantes.
EXERCÍCIO 4
Determine a equação de uma reta que é paralela à reta y=5x+2 e tem uma interseção em y em (0, -3).
Solução
Neste exercício, também não temos o declive da reta dada explicitamente. No entanto, temos que a reta é paralela a y=5x+2 e sabemos que as retas paralelas têm o mesmo declive.
Assim, temos as seguintes informações:
- m = 5
- b = -3
$latex y=mx+b$
$latex y=5x-3$
A equação da reta dada é $latex y=5x-3$.
EXERCÍCIO 5
Se uma reta é paralela à reta y=-x+10 e intercepta o eixo y em (0, 3), encontre sua equação.
Solução
Semelhante ao exercício anterior, sabemos que as retas paralelas têm o mesmo declive, então temos:
- m = -1
- b = 3
$latex y=mx+b$
$latex y=-x+3$
A equação da reta é $latex y=-x+3$.
EXERCÍCIO 6
Determine a equação de uma reta com declive de 1/5 e passa pela origem.
Solução
Nesse caso, conhecemos o declive, mas não temos a interseção com y fornecida explicitamente. Porém, temos que a reta passa pela origem, ou seja, o ponto (0, 0), então temos o seguinte:
- m = 1/5
- b = 0
$latex y=mx+b$
$latex y=\frac{1}{5}x+0$
$latex y=\frac{1}{5}x$
A equação da reta é $latex y=\frac{1}{5}x$.
EXERCÍCIO 7
Se uma reta tem um declive de 0,25 e uma interseção em y de (0, 0,5), qual é sua equação?
Solução
Temos que usar a fórmula da forma interceptação-declive com os seguintes valores:
- m = 0,25
- b = 0,5
$latex y=mx+b$
$latex y=0,25x+0,5$
A equação da reta dada é $latex y=0,25x+0,5$.
Forma de interceptação-declive de uma reta – Exercícios para resolver
Aplique a fórmula para a forma interceptação-declive para encontrar as equações das retas nestes exercícios. Se você tiver problemas com esses exercícios, você pode ver os exercícios resolvidos acima.
Veja também
Interessado em aprender mais sobre equações de retas? Dê uma olhada nessas páginas:
Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
