O declive de uma reta define a inclinação da reta em relação ao eixo x. O declive pode ser calculado obtendo a razão da diferença na mudança em y sobre a mudança em x.
A seguir, conheceremos a fórmula que podemos usar para calcular o declive de uma reta. Conheceremos o declive das linhas comuns e resolveremos alguns exercícios práticos.
Fórmula para o declive de uma reta
A fórmula do declive é derivada usando as coordenadas de dois pontos que se encontram na reta. Assim, encontramos o declive de uma reta formando uma fração, onde o numerador é igual à diferença das coordenadas y e o denominador é igual à diferença das coordenadas x.
Ou seja, se temos os pontos $latex A=(x_{1}, y_{1})$ e $latex B=(x_{2}, y_{2})$, a fórmula do declive é:
| Fórmula de declive $latex m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$ |
Declive de uma reta horizontal
O declive de uma reta horizontal pode ser encontrada aplicando a fórmula do declive, tendo em mente que as coordenadas y de todos os pontos que se encontram em uma reta horizontal são as mesmas. Então temos:
$latex m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$
$latex =\frac{0}{x_{2}-x_{1}}$
$latex m=0$
Isso significa que o declive de todas as retas horizontais é igual a 0.
Declive de uma reta vertical
As retas verticais não têm declive, pois não podemos definir o declive das retas verticais numericamente. Isso ocorre porque as coordenadas x de todos os pontos em uma reta vertical são as mesmas. Então, quando aplicamos a fórmula do declive com linhas verticais, temos:
$latex m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$
$latex =\frac{y_{2}-y_{1}}{0}$
Sabemos que a divisão por 0 é indefinida.
Declive de retas paralelas
Considere as duas linhas paralelas a seguir, $latex l_{1}$ e $latex l_{2}$, que possuem inclinações α e β. Para que as retas sejam paralelas, as inclinações devem ser as mesmas. Isso significa que temos α = β.
Portanto, duas retas paralelas sempre têm a mesma inclinação. Portanto, se queremos determinar se duas ou mais retas são paralelas, temos que ter certeza de que seus declives são os mesmos.
Declive de retas perpendiculares
No diagrama a seguir, temos as retas $latex l_{1}$ e $latex l_{2}$, que possuem inclinações α e β:
Se essas retas são perpendiculares, podemos dizer que β=α+90°. Além disso, podemos escrever os declives da seguinte forma:
$latex m_{1}=\tan(\alpha +90^{\circ})$ y $latex m_{2}=\tan(\alpha)$
⇒ $$m_{1}=-\cot(\alpha)=m_{1}=-\frac{1}{\tan(\alpha)}=-\frac{1}{m_{2}}$$
⇒ $latex m_{1}=-\frac{1}{m_{2}}$
⇒ $latex m_{1}\times {m_{2}}=-1$
Portanto, para que duas retas sejam perpendiculares, o produto de seus declives deve ser igual a -1. Alternativamente, podemos pensar em duas retas perpendiculares como tendo declives que são o recíproco negativo uma da outra.
Exercícios resolvidos de declive de uma reta
EXERCÍCIO 1
Os pontos (1, 1) e (3, 5) fazem parte de uma linha. Qual é o declive da reta?
Solução
Os pontos dados são:
- $latex (x_{1}, y_{1})=(1, 1)$
- $latex (x_{2}, y_{2})=(3, 5)$
Usando as coordenadas dos pontos dados na fórmula do declive, temos:
$latex m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$
$latex m=\frac{5-1}{3-1}$
$latex m=\frac{4}{2}$
$latex m=2$
O declive da reta é 2.
EXERCÍCIO 2
Qual é o declive de uma reta que tem os pontos (2, 1) e (4, 5)?
Solução
Temos as seguintes coordenadas:
- $latex (x_{1}, y_{1})=(2, 1)$
- $latex (x_{2}, y_{2})=(4, 5)$
Usamos a fórmula do declive com as coordenadas dadas:
$latex m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$
$latex m=\frac{5-1}{4-2}$
$latex m=\frac{4}{2}$
$latex m=2$
O declive da reta é 2.
EXERCÍCIO 3
Uma reta contém os pontos (2, 3) e (6, 5). Qual é o seu declive?
Solução
Temos os seguintes pontos:
- $latex (x_{1}, y_{1})=(2, 3)$
- $latex (x_{2}, y_{2})=(6, 5)$
Aplicando a fórmula do declive com esses pontos, temos:
$latex m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$
$latex m=\frac{5-3}{6-2}$
$latex m=\frac{2}{4}$
$latex m=\frac{1}{2}$
O declive da reta é $latex \frac{1}{2}$.
EXERCÍCIO 4
Temos os pontos (3, 2) e (6, 3) que fazem parte de uma reta. Qual é o declive?
Solução
Temos os seguintes valores:
- $latex (x_{1}, y_{1})=(3, 2)$
- $latex (x_{2}, y_{2})=(6, 3)$
Usando a fórmula do declive com esses valores, temos:
$latex m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$
$latex m=\frac{3-2}{6-3}$
$latex m=\frac{1}{3}$
O declive da reta é $latex \frac{1}{3}$.
EXERCÍCIO 5
Os pontos (-3, 2) e (3, 4) fazem parte de uma reta. Qual é o seu declive?
Solução
Temos as seguintes coordenadas:
- $latex (x_{1}, y_{1})=(-3, 2)$
- $latex (x_{2}, y_{2})=(3, 4)$
Aplicando a fórmula do declive com essas coordenadas, temos:
$latex m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$
$latex m=\frac{4-2}{3-(-3)}$
$latex m=\frac{2}{6}$
$latex m=\frac{1}{3}$
O declive da reta é $latex \frac{1}{3}$.
EXERCÍCIO 6
Determine o declive de uma reta contendo os pontos (-1, 3) e (6, -4).
Solução
Escrevemos os valores da seguinte forma:
- $latex (x_{1}, y_{1})=(-1, 3)$
- $latex (x_{2}, y_{2})=(6, -4)$
Usando esses valores na fórmula, temos:
$latex m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$
$latex m=\frac{-4-3}{6-(-1)}$
$latex m=\frac{-7}{7}$
$latex m=-1$
O declive da reta é $latex -1$.
EXERCÍCIO 7
Determine o declive de uma reta contendo os pontos (-3, -2) e (2, -7).
Solução
Temos os pontos:
- $latex (x_{1}, y_{1})=(-3, -2)$
- $latex (x_{2}, y_{2})=(2, -7)$
Agora, usamos essas coordenadas na fórmula do declive:
$latex m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$
$latex m=\frac{-7-(-2)}{2-(-3)}$
$latex m=\frac{-5}{5}$
$latex m=-1$
O declive da reta é -1.
EXERCÍCIO 8
Se uma reta tem os pontos (-2, 1) e (6, -3), qual é a seu declive?
Solução
Temos as coordenadas:
- $latex (x_{1}, y_{1})=(-2, 1)$
- $latex (x_{2}, y_{2})=(6, -3)$
Aplicamos a fórmula do declive com as coordenadas fornecidas:
$latex m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$
$latex m=\frac{-3-1}{6-(-2)}$
$latex m=\frac{-4}{8}$
$latex m=-\frac{1}{2}$
O declive da reta é $latex -\frac{1}{2}$.
Declive de uma reta exercícios para resolver
Qual é o declive de uma reta que contém os pontos (-3,-2) e (1, -10)?
Escreva a resposta na caixa.
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
