Equação da Tangente a um Círculo – Exercícios Resolvidos

Passo 1: Uma vez que a equação do círculo está na forma padrão, podemos facilmente ver que o centro é igual a $latex (-2, 3)$.

Passo 2: Usamos $latex (x_{1},~y_{1})=(-2, 3)$ e $latex (x_{2},~y_{2})=(0, ~4)$ para encontrar o declive do raio do círculo:

$$m_{r}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$$

$$=\frac{4-3}{0+2}$$

$$=\frac{1}{2}$$

Passo 3: O declive da reta tangente é:

$$m=-\frac{1}{m_{r}}$$

$$m=-2$$

Passo 4: Para encontrar o valor de b, usamos $latex (x,~y)=(0,~4)$:

$latex y=mx+b$

$latex 4=-2(0)+b$

$latex b=4$

A equação da reta tangente ao círculo a $latex (0, ~4)$ é $latex y=-2x+4$.

Passo 1: Temos a equação do círculo na sua forma padrão, pelo que vemos que o centro é $latex (1, 2)$.

Passo 2: Encontramos o declive do raio do círculo usando as coordenadas $latex (x_{1},~y_{1})=(1, 2)$ e $latex (x_{2},~y_{2})= (4, ~3)$ para encontrar o declive do raio do círculo:

$$m_{r}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$$

$$=\frac{3-2}{4-1}$$

$$=\frac{1}{3}$$

Passo 3: O declive da reta tangente é:

$$m=-\frac{1}{m_{r}}$$

$$m=-3$$

Passo 4: Usando o ponto tangente $latex (x,~y)=(4,~3)$, encontramos o valor de b:

$latex y=mx+b$

$latex 3=-3(4)+b$

$latex b=15$

A equação da reta tangente ao círculo a $latex (4, ~3)$ é $latex y=-3x+15$.

Passo 1: Neste caso, a equação do círculo está na sua forma geral. Depois, escrevemo-la na sua forma padrão, completando o quadrado de ambas as variáveis:

$latex x^2+y^2+2x-4y-20=0$

$latex x^2+2x+y^2-4y-20=0$

$$(x+1)^2-1+(y-2)^2-4-20=0$$

$latex (x+1)^2+(y-2)^2=25$

Agora, vemos que o centro é $latex (-1, ~2)$.

Passo 2: O declive do raio do círculo é

$$m_{r}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$$

$$=\frac{6-2}{2+1}$$

$$=\frac{4}{3}$$

Passo 3: O declive da reta tangente é:

$$m=-\frac{1}{m_{r}}$$

$$m=-\frac{3}{4}$$

Passo 4: Para encontrar o valor de b, utilizamos as coordenadas do ponto tangente $latex (x,~y)=(2,~6)$:

$latex y=mx+b$

$latex 6=-\frac{3}{4}(2)+b$

$latex b=\frac{15}{2}$

A equação da reta tangente ao círculo em $latex (2, ~6)$ é $latex y=-\frac{3}{4}x+\frac{15}{2}$.

Passo 1: Escrevendo a equação do círculo na sua forma padrão, temos:

$latex x^2+y^2-2x-6y+8=0$

$latex x^2-2x+y^2-6y+8=0$

$$(x-1)^2-1+(y-3)^2-9+8=0$$

$latex (x-1)^2+(y-3)^2=2$

O centro do círculo é $latex (1, ~3)$.

Passo 2: Encontrando o declive do raio do círculo, temos:

$$m_{r}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$$

$$=\frac{2-3}{2-1}$$

$latex =-1$

Passo 3: O declive da reta tangente é:

$$m=-\frac{1}{m_{r}}$$

$$m=1$$

Passo 4: Usamos o ponto tangente para encontrar o valor de b:

$latex y=mx+b$

$latex 2=1(2)+b$

$latex b=0$

A equação da reta tangente ao círculo a $latex (2, ~2)$ é $latex y=x$.

Passo 1: Encontrando a forma padrão da equação do círculo dado, temos:

$latex x^2+y^2+4x+6y-21=0$

$latex x^2+4x+y^2+6y-21=0$

$$(x+2)^2-4+(y+3)^2-9-21=0$$

$latex (x+2)^2+(y+3)^2=34$

O centro do círculo é $latex (-2,~-3)$.

Passo 2: Encontrando o declive do raio do círculo, temos:

$$m_{r}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$$

$$=\frac{2+3}{1+2}$$

$$=\frac{5}{3}$$

Passo 3: O declive da reta tangente é:

$$m=-\frac{1}{m_{r}}$$

$$m=-\frac{3}{5}$$

Passo 4: Usamos $latex (x,~y)=(1,~2)$ para encontrar o valor de b:

$latex y=mx+b$

$latex 2=-\frac{3}{5}(1)+b$

$latex b=\frac{13}{5}$

A equação da reta tangente ao círculo em $latex (1, ~2)$ é $latex y=-\frac{3}{5}x+\frac{13}{5}$.

Passo 1: Escrevendo a equação do círculo na sua forma padrão, temos:

$latex x^2+y^2+6x-4y+8=0$

$latex x^2+6x+y^2-4y+8=0$

$$(x+3)^2-9+(y-2)^2-4+8=0$$

$latex (x+3)^2+(y-2)^2=5$

Agora, vemos que o centro do círculo é $latex (-3, ~2)$.

Passo 2: O declive do raio do círculo é

$$m_{r}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$$

$$=\frac{1-2}{-1+3}$$

$$=-\frac{1}{2}$$

Passo 3: O declive da reta tangente é:

$$m=-\frac{1}{m_{r}}$$

$latex m=2$

Passo 4: Para encontrar o valor de b, usamos $latex (x,~y)=(-1,~1)$:

$latex y=mx+b$

$latex 1=2(-1)+b$

$latex b=3$

A equação da reta tangente ao círculo a $latex (-1, ~1)$ é $latex y=2x+3$.