Um paralelogramo é um quadrilátero em que os lados opostos são paralelos e têm o mesmo comprimento. Por ter lados opostos que são paralelos e de comprimentos iguais, ele torna iguais os ângulos dos lados opostos. As diagonais de um paralelogramo são os segmentos que conectam os cantos opostos da figura.
A seguir, conheceremos as fórmulas que podemos usar para calcular as diagonais de um paralelogramo. Além disso, veremos alguns exercícios resolvidos nos quais aplicaremos essas fórmulas.
Como a diagonal do paralelogramo é calculada?
Vamos considerar o seguinte paralelogramo:
Para encontrar as diagonais deste paralelogramo, podemos usar as seguintes fórmulas:
$latex d_{1}=\sqrt{{{a}^2}+{{b}^2}-2ab\cos(A)}$
$latex d_{1}=\sqrt{{{a}^2}+{{b}^2}+2ab\cos(B)}$
$latex d_{2}=\sqrt{{{a}^2}+{{b}^2}+2ab\cos(A)}$
$latex d_{2}=\sqrt{{{a}^2}+{{b}^2}-2ab\cos(B)}$
$latex {{d_{1}}^2}+{{d_{2}}^2}=2({{a}^2}+{{b}^2})$
onde,
- $latex d_{1}, ~d_{2}$ são os comprimentos das diagonais
- $latex a, ~b$ são os comprimentos dos lados
Exercícios de diagonal do paralelogramo resolvidos
Nos exercícios a seguir, usamos as fórmulas diagonais para encontrar os comprimentos das diagonais dos paralelogramos. Tente resolver os exercícios sozinho antes de ver a resposta.
EXERCÍCIO 1
Encontre a diagonal de um paralelogramo com lados de 6 m e 10 m e um ângulo de 30°.
Solução
Temos os seguintes dados:
- Lado 1, $latex a=6$ m
- Lado 2, $latex b=10$ m
- Ângulo, $latex A=30°$
Portanto, usamos a fórmula diagonal com estes valores:
$latex d_{1}=\sqrt{{{a}^2}+{{b}^2}-2ab\cos(A)}$
$$d_{1}=\sqrt{{{6}^2}+{{10}^2}-2(6)(10)\cos(30°)}$$
$latex d_{1}=\sqrt{36+100-2(6)(10)(0,5)}$
$latex d_{1}=\sqrt{136-60}$
$latex d_{1}=\sqrt{76}$
$latex d_{1}=8,72$
A diagonal tem comprimento de 8,72 m.
EXERCÍCIO 2
Qual é a diagonal de um paralelogramo com lados de comprimento de 10 m e 13 m e um ângulo que mede 40°?
Solução
Podemos identificar o seguinte:
- Lado 1, $latex a=10$ m
- Lado 2, $latex b=13$ m
- Ângulo, $latex A=40°$
Portanto, inserimos esses valores na fórmula:
$latex d_{1}=\sqrt{{{a}^2}+{{b}^2}-2ab\cos(A)}$
$$d_{1}=\sqrt{{{10}^2}+{{13}^2}-2(10)(13)\cos(40°)}$$
$$d_{1}=\sqrt{100+169-2(10)(13)(0,643)}$$
$latex d_{1}=\sqrt{269-167,18}$
$latex d_{1}=\sqrt{101,82}$
$latex d_{1}=10,09$
A diagonal tem comprimento de 10,09 m.
EXERCÍCIO 3
Um paralelogramo tem lados de comprimento de 8 m e 14 m com um ângulo de 45°. Qual é o comprimento de sua diagonal?
Solução
Temos as seguintes informações:
- Lado 1, $latex a=8$ m
- Lado 2, $latex b=14$ m
- Ângulo, $latex A=45°$
Usando esses valores na fórmula, temos:
$latex d_{1}=\sqrt{{{a}^2}+{{b}^2}-2ab\cos(A)}$
$$d_{1}=\sqrt{{{8}^2}+{{14}^2}-2(8)(14)\cos(45°)}$$
$$d_{1}=\sqrt{64+196-2(8)(14)(0,707)}$$
$latex d_{1}=\sqrt{260-158,368}$
$latex d_{1}=\sqrt{101,632}$
$latex d_{1}=10,08$
A diagonal tem comprimento de 10,08 m.
EXERCÍCIO 4
Qual é o comprimento da diagonal de um paralelogramo que tem lados de 5 m e 7 m e um ângulo que mede 40°?
Solução
Temos os seguintes dados:
- Lado 1, $latex a=5$ m
- Lado 2, $latex b=7$ m
- Ângulo, $latex A=40°$
Portanto, usamos a fórmula diagonal com estes valores:
$latex d_{1}=\sqrt{{{a}^2}+{{b}^2}-2ab\cos(A)}$
$latex d_{1}=\sqrt{{{5}^2}+{{7}^2}-2(5)(7)\cos(40°)}$
$latex d_{1}=\sqrt{25+49-2(5)(7)(0,643)}$
$latex d_{1}=\sqrt{74-45,01}$
$latex d_{1}=\sqrt{76}$
$latex d_{1}=5,38$
A diagonal tem comprimento de 5,38 m.
Exercícios de diagonal do paralelogramo para resolver
Resolva os exercícios a seguir usando a fórmula para a diagonal de um paralelogramo. Selecione sua resposta e clique em “Verificar” para verificar sua resposta. Confira os exercícios resolvidos acima caso precise de ajuda.
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
