O perímetro de um paralelogramo representa o comprimento do contorno do paralelogramo. Por outro lado, a área é uma medida do espaço bidimensional ocupado pela figura. Podemos encontrar o perímetro do paralelogramo somando os comprimentos de seus quatro lados, e podemos encontrar a área multiplicando o comprimento de sua base por sua altura.
A seguir, aprenderemos tudo sobre o perímetro e a área de um paralelogramo. Conheceremos suas fórmulas e as aplicaremos para resolver alguns exercícios práticos.
Como calcular o perímetro de um paralelogramo?
Para encontrar o perímetro de um paralelogramo, temos que somar os comprimentos de todos os seus lados. Considerando que os lados opostos de um paralelogramo têm o mesmo comprimento, podemos formar a seguinte fórmula:
$latex p=a+b+a+b$
$latex p=2a+2b$
| $latex p=2(a+b)$ |
Calcular o perímetro de um paralelogramo com base e altura
Para calcular o perímetro de um paralelogramo usando sua base e altura, precisamos do ângulo entre sua altura e seu lado lateral, conforme mostrado no diagrama abaixo.
Em um paralelogramo, os lados opostos são paralelos e iguais, e o perímetro do paralelogramo é definido como duas vezes o produto da base pela altura multiplicado pelo cosseno do ângulo:
| $latex p=2(b+h~\cos(\theta))$ |
onde, $latex \theta$ é o ângulo entre a altura e o lado lateral do paralelogramo.
Como calcular a área de um paralelogramo?
Para calcular a área de um paralelogramo, podemos multiplicar o comprimento da base pela sua altura. Devemos considerar que a base e a altura do paralelogramo são perpendiculares entre si, enquanto o lado lateral do paralelogramo não é perpendicular à base.
Por exemplo, no diagrama abaixo, podemos ver que a altura do paralelogramo é diferente de seu lado lateral:
Assim, podemos usar a seguinte fórmula para encontrar a área de um paralelogramo:
| $latex A=bh$ |
onde, b é o comprimento da base e h é a altura.
Calcular a área de um paralelogramo sem usar a altura
Podemos calcular a área de um paralelogramo sem sua altura se conhecermos os comprimentos de seus lados e o ângulo entre seus lados. Assim, usamos a seguinte fórmula:
| $latex A=ab\sin(x)$ |
onde a e b são os comprimentos dos lados do paralelogramo e x é a medida do ângulo entre os lados.
Calcular a área de um paralelogramo usando diagonais
Podemos calcular a área de um paralelogramo quando conhecemos os comprimentos das diagonais e o ângulo de interseção das diagonais. Assim, usamos a seguinte fórmula:
| $latex A=\frac{d_{1}\times d_{2}\sin(y)}{2}$ |
onde, $latex d_{1}, ~d_{2}$ são os comprimentos das diagonais e y é o ângulo de intersecção das diagonais.
Perímetro e área de um paralelogramo – Exercícios resolvidos
EXERCÍCIO 1
Encontre o perímetro de um paralelogramo com lados de 8 mm e 12 mm.
Solução
Temos os seguintes comprimentos:
- Lado 1, $latex a=8$ mm
- Lado 2, $latex b=12$ mm
Aplicando a fórmula do perímetro com esses valores, temos:
$latex p=2(a+b)$
$latex p=2(8+12)$
$latex p=2(20)$
$latex p=40$
O perímetro do paralelogramo é igual a 40 mm.
EXERCÍCIO 2
Encontre a área de um paralelogramo que tem bases de 12 m de comprimento e 11 m de altura.
Solução
Temos o seguinte:
- Base, $latex b=12$m
- Altura, $latex h=11$ m
Usando a fórmula da área com esses comprimentos, temos:
$latex A=bh$
$latex A=(12)(11)$
$latex A=132$
A área do paralelogramo é de 132 m².
EXERCÍCIO 3
Encontre o perímetro de um paralelogramo que tem lados de 15 cm e 17 cm.
Solução
Temos o seguinte:
- Lado 1, $latex a=15$ cm
- Lado 2, $latex b=17$ cm
Usando a fórmula do perímetro com esses valores, temos:
$latex p=2(a+b)$
$latex p=2(15+17)$
$latex p=2(32)$
$latex p=64$
O perímetro do paralelogramo é igual a 64 cm.
EXERCÍCIO 4
Encontre a área de um paralelogramo com uma base de 15 mm e uma altura de 20 mm.
Solução
Temos os seguintes comprimentos:
- Base, $latex b=15$ mm
- Altura, $latex h=20$ mm
Usando a fórmula da área com esses comprimentos, temos:
$latex A=bh$
$latex A=(15)(20)$
$latex A=300$
A área do paralelogramo é igual a 300 mm².
EXERCÍCIO 5
Se o perímetro de um paralelogramo mede 90 cm e um lado mede 21 cm, qual o comprimento do outro lado?
Solução
Temos o seguinte:
- Perímetro, $latex p=90$ cm
- Lado 1, $latex a=21$ cm
Neste caso, conhecemos o perímetro e queremos encontrar o comprimento do outro lado do paralelogramo. Então, usamos a fórmula do perímetro e resolvemos o lado que falta:
$latex p=2(a+b)$
$latex 90=2(21+b)$
$latex 90=42+2b$
$latex 2b=48$
$latex b=24$
O comprimento do outro lado é igual a 24 cm.
EXERCÍCIO 6
Qual é a área de um paralelogramo com lados de comprimentos 14 m e 12 m e o ângulo entre eles é 60°?
Solução
Temos o seguinte:
- Lado 1, $latex a=14$ m
- Lado 2, $latex b=12$ m
- Ângulo, $latex x=60°$
Usando a segunda fórmula para a área de um paralelogramo, temos:
$latex A=ab\sin(x)$
$latex A=(14)(12)\sin(60°)$
$latex A=(168)(0,866)$
$latex A=145,5$
A área do paralelogramo é de 145,5 m².
EXERCÍCIO 7
Encontre o perímetro de um paralelogramo com uma altura de 10 m e uma base de 12 m se o ângulo entre a altura e o lado lateral for de 60°.
Solução
Temos o seguinte:
- Altura, $latex h=10$ m
- Base, $latex b=12$ m
- Ângulo, $latex \theta=60°$
Usamos a segunda fórmula do perímetro e temos:
$latex p=2(b+h~\cos(\theta))$
$latex p=2(12+10~\cos(60°))$
$latex p=2(12+10(0,5))$
$latex p=2(12+5)$
$latex p=2(17)$
$latex p=34$
O perímetro do paralelogramo é igual a 34 m.
EXERCÍCIO 8
Um paralelogramo tem diagonais com comprimentos 10 mm e 9 mm. Se o ângulo de intersecção das diagonais é de 30°, qual é a sua área?
Solução
Temos o seguinte:
- Diagonal 1, $latex d_{1}=10$ mm
- Diagonal 2, $latex d_{2}=9$ mm
- Ângulo, $latex y=30°$
Usando a fórmula da terceira área com as informações fornecidas, temos:
$$A=\frac{d_{1}\times d_{2}\sin(y)}{2}$$
$$A=\frac{10\times 9\sin(30°)}{2}$$
$$A=\frac{(90)(0,5)}{2}$$
$$A=\frac{45}{2}$$
$latex A=22,5$
A área do paralelogramo é igual a 22,5 mm².
EXERCÍCIO 9
Encontre o perímetro de um paralelogramo com uma altura de 20 cm e uma base de 15 cm se o ângulo entre a altura e o lado lateral for de 60°.
Solução
Temos o seguinte:
- Altura, $latex h=20$ cm
- Base, $latex b=15$ cm
- Ângulo, $latex \theta=60°$
Usamos esses valores na segunda fórmula do perímetro e temos:
$latex p=2(b+h~\cos(\theta))$
$latex p=2(15+20~\cos(60°))$
$latex p=2(15+20(0,5))$
$latex p=2(15+10)$
$latex p=2(25)$
$latex p=50$
O perímetro do paralelogramo é igual a 50 cm.
EXERCÍCIO 10
A área de um paralelogramo é igual a 182 mm². Se sua altura é 13 mm, qual é o comprimento de sua base?
Solução
Temos os seguintes valores:
- Área, $latex A=182$ mm²
- Altura, $latex h=13$ mm
Usamos a fórmula da área com as informações fornecidas e resolvemos para a base, b:
$latex A=bh$
$latex 182=13b$
$latex b=14$
O comprimento da base é de 14 mm.
Perímetro e área de um paralelogramo – Exercícios para resolver
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
