Em geometria, um quadrado é um quadrilátero regular, que tem quatro lados de igual comprimento e quatro ângulos que medem 90 graus. Um quadrado pode ter duas diagonais. Cada uma das diagonais pode ser formada pela junção dos vértices do quadrado que estão diagonalmente opostos. O comprimento da diagonal de um quadrado pode ser calculado usando o teorema de Pitágoras. O teorema de Pitágoras é simplificado reconhecendo que os comprimentos de os lados necessários são iguais.
A seguir, saberemos a fórmula que pode ser usada para calcular o comprimento da diagonal de um quadrado. Além disso, veremos alguns exercícios nos quais usaremos essa fórmula.
Como a diagonal de um quadrado é calculada?
Podemos calcular a diagonal de um quadrado usando uma fórmula derivada do teorema de Pitágoras. Considere um quadrado ABCD com lados de comprimento “l” cm.
Vemos que as linhas AD e BC são as diagonais do quadrado:
Podemos ver claramente que uma diagonal divide o quadrado em dois triângulos iguais $latex \Delta$ACD e $latex \Delta$BDC. Vamos usar um dos triângulos para calcular o comprimento da diagonal.
Podemos aplicar o teorema de Pitágoras em $latex \Delta$ACD para obter o comprimento da diagonal. Então, temos:
$latex {{AC}^2}={{AD}^2}+{{CD}^2}$
Sabemos que $latex AD=CD=l$. Então, podemos inserir isso na equação acima:
$latex {{AC}^2}={{l}^2}+{{l}^2}$
$latex {{AC}^2}=2{{l}^2}$
$latex AC=\sqrt{2}~l$
Portanto, o comprimento da diagonal de um quadrado é:
| $latex d=\sqrt{2}~l$ |
As propriedades das diagonais dos quadrados são as seguintes:
- Ambas as diagonais são congruentes (têm o mesmo comprimento).
- Ambas as diagonais se cruzam, ou seja, o ponto onde as diagonais se cruzam é o ponto médio.
- Uma diagonal divide o quadrado em dois triângulos retângulos isósceles.
Exercícios de diagonal de um quadrado resolvidos
Os exercícios a seguir são resolvidos usando a fórmula diagonal indicada acima. Tente resolver os exercícios sozinho antes de olhar para a solução.
EXERCÍCIO 1
Um quadrado tem lados de 12 m de comprimento. Qual é o comprimento de sua diagonal?
Solução
Temos que o comprimento dos lados do quadrado é de 12 m. Portanto, podemos encontrar sua diagonal da seguinte forma:
$latex d=\sqrt{{{lado}^2}+{{lado}^2}}$
$latex d=\sqrt{2{{lado}^2}}$
$latex d=lado\sqrt{2}$
$latex d=12\sqrt{2}$
Portanto, a diagonal é $latex 12 \sqrt{2}$ m.
EXERCÍCIO 2
Qual é o comprimento da diagonal de um quadrado com lados de 17 cm?
Solução
O comprimento da diagonal do quadrado é de 17 cm. Portanto, sua diagonal pode ser calculada da seguinte forma:
$latex d=\sqrt{{{lado}^2}+{{lado}^2}}$
$latex d=\sqrt{2{{lado}^2}}$
$latex d=lado\sqrt{2}$
$latex d=17\sqrt{2}$
Portanto, a diagonal do quadrado tem um comprimento de $latex 17 \sqrt{2}$ cm.
EXERCÍCIO 3
Encontre o comprimento da diagonal de um quadrado com lados de 25 cm.
Solução
A diagonal de um quadrado é calculada usando o teorema de Pitágoras com os comprimentos de seus lados. Neste caso, os lados do quadrado têm 25 cm de comprimento:
$latex d=\sqrt{{{lado}^2}+{{lado}^2}}$
$latex d=\sqrt{2{{lado}^2}}$
$latex d=lado\sqrt{2}$
$latex d=25\sqrt{2}$
Portanto, a diagonal do quadrado é $latex 25 \sqrt{2}$ cm.
EXERCÍCIO 4
Temos que a diagonal de um quadrado mede $latex 31 \sqrt{2}$ m. Qual é o comprimento de seus lados?
Solução
Neste caso, partimos da diagonal e queremos encontrar o comprimento dos lados. Então, usamos a fórmula diagonal e resolvemos para o lado:
$latex d=lado\sqrt{2}$
$latex 31\sqrt{2}=lado\sqrt{2}$
$latex lado=31$
Portanto, o comprimento dos lados do quadrado é de 31 m.
EXERCÍCIO 5
A diagonal de um quadrado é $latex 19 \sqrt{2}$ cm. Qual é o comprimento de seus lados?
Solução
Usamos a fórmula diagonal, inserimos o valor da diagonal e resolvemos para o lado:
$latex d=lado\sqrt{2}$
$latex 19\sqrt{2}=lado\sqrt{2}$
$latex lado=19$
Portanto, o comprimento dos lados do quadrado é de 19 cm.
Exercícios de diagonal de um quadrado para resolver
Os exercícios a seguir podem ser usados para praticar o uso da fórmula para a diagonal de um quadrado. Resolva os exercícios e selecione sua resposta. Clique em “Verificar” para verificar se você selecionou a resposta correta.
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
