Podemos calcular o declive de uma reta usando dois pontos que fazem parte da reta. Assim, formamos uma fração, onde o numerador corresponde à mudança nas coordenadas y dos pontos e o denominador corresponde à mudança nas coordenadas x.
A seguir, conheceremos a fórmula que podemos aplicar para calcular o declive usando dois pontos. Depois, vamos aplicar esta fórmula para resolver alguns exercícios.
Fórmula para o declive de uma reta usando dois pontos
Podemos encontrar a fórmula do declive usando as coordenadas de dois pontos que fazem parte da reta. O declive é igual à variação de y dividida pela variação de x. Então, se tivermos os pontos $latex A=(x_{1}, y_{1})$ e $latex B=(x_{2}, y_{2})$, a fórmula do declive é:
| Fórmula de declive $latex m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$ |
Declive de retas comuns
Usando a fórmula do declive, podemos determinar o declive de algumas retas comuns para referência.
Declive de uma reta horizontal
Uma reta horizontal não tem inclinação em relação ao eixo x, então seu declive é igual a 0. As coordenadas y de todos os pontos em uma reta horizontal são as mesmas, então, usando a fórmula do declive, temos:
$latex m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$
$latex =\frac{0}{x_{2}-x_{1}}$
$latex m=0$
Declive de uma reta vertical
Uma reta vertical tem um declive indefinido. Todos os pontos em uma reta vertical têm coordenadas x iguais, então aplicando a fórmula do declive, temos:
$latex m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$
$latex =\frac{y_{2}-y_{1}}{0}$
Sabemos que a divisão por 0 é indefinida.
Declive de retas paralelas
Para que duas ou mais retas sejam paralelas, seus declives devem ser iguais. Por exemplo, suponha que temos as retas $latex l_{1}$ e $latex l_{2}$ com declives $latex m_{1}$ e $latex m_{2}$ respectivamente. Se essas retas são paralelas, devemos ter:
$latex m_{1}=m_{2}$
Declive de retas perpendiculares
Os declives de duas retas paralelas são iguais ao inverso negativo uma da outra. Por exemplo, suponha que temos as linhas $latex l_{1}$ e $latex l_{2}$ com inclinações $latex m_{1}$ e $latex m_{2}$ respectivamente. Se essas retas são perpendiculares, devemos ter:
$latex m_{1}=-\frac{1}{m_{2}}$
Declive de uma reta com dois pontos exercícios resolvidos
A fórmula para o declive de uma reta é aplicada usando os dois pontos dados para obter a resposta. Tente resolver os exercícios antes de olhar para a solução.
EXERCÍCIO 1
Temos uma reta contendo os pontos (1, 3) e (3, 7). Qual é o seu declive?
Solução
Temos os dois pontos:
- $latex (x_{1}, y_{1})=(1, 3)$
- $latex (x_{2}, y_{2})=(3, 7)$
Aplicamos a fórmula do declive com os dois pontos dados:
$latex m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$
$latex m=\frac{7-3}{3-1}$
$latex m=\frac{4}{2}$
$latex m=2$
O declive da reta é 2.
EXERCÍCIO 2
Qual é o declive de uma reta com os pontos (3, 2) e (8, 3)?
Solução
Temos as seguintes coordenadas dos pontos:
- $latex (x_{1}, y_{1})=(3, 2)$
- $latex (x_{2}, y_{2})=(8, 3)$
Usamos essas coordenadas na fórmula do declive e temos:
$latex m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$
$latex m=\frac{3-2}{8-3}$
$latex m=\frac{1}{5}$
O declive da reta é $latex \frac{1}{5}$.
EXERCÍCIO 3
Os pontos (-1, 3) e (6, -4) fazem parte de uma reta. Qual é o seu declive?
Solução
Temos os seguintes pontos:
- $latex (x_{1}, y_{1})=(-1, 3)$
- $latex (x_{2}, y_{2})=(6, -4)$
Quando aplicamos a fórmula do declive com essas coordenadas, temos:
$latex m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$
$latex m=\frac{-4-3}{6-(-1)}$
$latex m=\frac{-7}{7}$
$latex m=-1$
O declive da reta é $latex -1$.
EXERCÍCIO 4
Qual é o declive de uma reta que contém os pontos (-3, -2) e (3, -5)?
Solução
Podemos escrever da seguinte forma:
- $latex (x_{1}, y_{1})=(-3, -2)$
- $latex (x_{2}, y_{2})=(3, -5)$
Usamos a fórmula do declive com as coordenadas dadas:
$latex m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$
$latex m=\frac{-5-(-2)}{3-(-3)}$
$latex m=\frac{-3}{6}$
$latex m=-\frac{1}{2}$
O declive da reta é $latex -\frac{1}{2}$.
Declive de uma reta com dois pontos exercícios para resolver
Resolva os seguintes problemas práticos usando a fórmula do declive com os pontos dados. Se precisar de ajuda com isso, consulte os exercícios resolvidos acima.
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
