Adição de vetores – Exercícios resolvidos

Para encontrar a soma dos vetores pelo método poligonal, temos de colocar a base de um dos vectores na ponta ou na cabeça do outro vector.

Assim, colocamos a base do vetor $latex \vec{B}$ na cabeça do vetor $latex \vec{A}$:

O vetor resultante, $latex \vec{R}$, é o vetor que une a base ou cauda do primeiro vetor à cabeça do segundo vetor:

A ordem em que adicionamos não importa. Ou seja, podemos trocar os vetores e obter o mesmo resultado:

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Vamos começar adicionando dois dos vetores e, em seguida, adicionaremos o vetor resultante ao terceiro vetor.

Então, começamos somando os vetores $latex \vec{A}$ e $latex \vec{B}$ para obter o vetor $latex \vec{D}$:

Agora, somamos o vetor $latex \vec{C}$ ao vetor $latex \vec{D}$ para obter o resultado $latex \vec{R}$:

Semelhante ao exemplo anterior, a adição pode ser feita em qualquer outra ordem.

Podemos usar um diagrama para representar a soma dos vetores que indicam a viagem de 10 km ao norte e 20 km ao leste:

Então, a distância e a direção de sua posição final são encontradas determinando a magnitude (comprimento) e o ângulo do vetor $latex \vec{R}$.

Os vetores formam um ângulo reto entre si, então o triângulo formado é um triângulo retângulo e podemos usar o teorema de Pitágoras.

A distância do ponto inicial ao ponto final é igual à hipotenusa do triângulo e temos:

$$\sqrt{(10\text{ km})^2+(20\text{ km})^2}=22,36\text{ km}$$

Para encontrar o ângulo θ, usamos a função tangente:

$$\tan(\theta)=\frac{\text{oposto}}{\text{adjacente}}=\frac{20\text{ km}}{10\text{ km}}=2$$

$$\theta=\tan^{-1}(2)=63,4^{\circ}$$

Portanto, Carlos está a 22,36 km de distância em uma direção de 63,4° de norte a leste (eixo x positivo).

O método do paralelogramo consiste em colocar os vetores com as suas bases no mesmo ponto como se segue:

Em seguida, traçamos um paralelogramo usando os vetores iniciais como lados adjacentes:

A diagonal do paralelogramo formado representa a soma dos vetores:

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Começamos por adicionar dois dos vectores para obter o seguinte resultado:

Agora, adicionamos o vector resultante com o terceiro vector e temos:

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Neste caso, temos as componentes dos vetores. Nesta notação, as letras $latex i,~ j,~ k$ representam os componentes em $latex x,~ y,~ z$, respectivamente.

Para adicionar dois ou mais vetores, simplesmente adicionamos seus componentes para obter o vetor resultante $latex \vec{R}$. Então, temos:

$$R_{x}=u_{x}+v_{x}=2+3=5$$

$$R_{y}=u_{y}+v_{y}=4+1=5$$

$$R_{z}=u_{z}+v_{z}=5+2=7$$

Então, a soma dos vetores é

$latex \vec{R}=5i+5j+7k$

Semelhante ao exercício anterior, basta somar as componentes dos vetores para encontrar sua soma. Então, temos:

$$R_{x}=u_{x}+v_{x}=-6+3=-3$$

$$R_{y}=u_{y}+v_{y}=8-4=4$$

$$R_{z}=u_{z}+v_{z}=7+5=12$$

Então a soma dos vetores é

$latex \vec{R}=-3i+4j+12k$

Para encontrar a soma dos vectores, vamos adicionar cada um dos seus componentes:

$$R_{x}=u_{x}+v_{x}+w_{x}=12-5+2=9$$

$$R_{y}=u_{y}+v_{y}+w_{y}=-9-7-3=-19$$

$$R_{z}=u_{z}+v_{z}+w_{z}=11+7+1=19$$

Então, o vector que representa a soma dos vectores é

$latex \vec{R}=9i-19j+19k$

Para encontrar a soma dos vectores, temos de começar por encontrar os componentes em $latex x$ e em $latex y$ dos dois vectores dados.

Podemos encontrar o componente $latex x$ usando cosseno e o componente $latex y$ usando seno. Então, temos:

$$M_{x}=M\cos (\theta)=(20\text{ m})(\cos(60^{\circ})=10\text{ m}$$

$$M_{y}=M\sin (\theta)=(20\text{ m})(\sin(60^{\circ})=17,32\text{ m}$$

$$N_{x}=N\cos (\theta)=(10\text{ m})(\cos(30^{\circ})=8,66\text{ m}$$

$$N_{y}=N\sin (\theta)=(10\text{ m})(\sin(30^{\circ})=5\text{ m}$$

Agora, basta adicionar os componentes:

$$R_{x}=M_{x}+N_{x}=10\text{ m}+8,66\text{ m}=18,66\text{ m}$$

$$R_{y}=M_{y}+N_{y}=17,32\text{ m}+5\text{ m}=22,32\text{ m}$$

Assim, a soma dos vetores é $latex \vec{R}=18,66i+22,32j$.

Temos que começar encontrando os componentes em $latex x$ e em $latex y$. Então, temos:

$$A_{x}=A\cos (\theta)=(30\text{ m})(\cos(45^{\circ})=21,21\text{ m}$$

$$A_{y}=A\sin (\theta)=(30\text{ m})(\sin(45^{\circ})=21,21\text{ m}$$

$$B_{x}=B\cos (\theta)=(40\text{ m})(\cos(30^{\circ})=34,64\text{ m}$$

$$B_{y}=B\sin (\theta)=(40\text{ m})(\sin(30^{\circ})=20\text{ m}$$

Então, as componentes do vetor formado pela soma são:

$$R_{x}=A_{x}+B_{x}=21,21\text{ m}+34,64\text{ m}=55,85\text{ m}$$

$$R_{y}=A_{y}+B_{y}=21,21\text{ m}+20\text{ m}=41,21\text{ m}$$

O vetor resultante é $latex \vec{R}=55,85i+41,21j$.