Segunda derivada de uma função – Exercícios resolvidos

Para encontrar a segunda derivada, temos que começar encontrando a primeira derivada da função. Então, diferenciamos usando a regra da potência das derivadas:

$latex f(x)=5x^3$

$latex f'(x)=15x^2$

Agora, usamos a regra da potência novamente para derivar $latex f'(x)$:

$latex f'(x)=15x^2$

$latex f^{\prime \prime}(x)=30x$

A segunda derivada é $latex f^{\prime \prime}(x)=30x$.

Podemos usar a regra da potência das derivadas em cada termo da função para encontrar a primeira derivada:

$latex f(x)=4x^4-2x^2+7x$

$latex f'(x)=16x^3-4x+7$

Vamos derivar $latex f'(x)$ para encontrar a segunda derivada usando o mesmo método:

$latex f'(x)=16x^3-4x+7$

$latex f^{\prime \prime}(x)=48x^2-4$

Temos uma expressão racional. Assim, podemos usar as leis dos expoentes para escrever da seguinte forma:

$$f(x)=5x^6+\frac{3}{x}$$

$latex f(x)=5x^6+3x^{-1}$

Agora que temos apenas expoentes numéricos, usamos a regra da potência para derivar:

$latex f(x)=5x^6+3x^{-1}$

$latex f'(x)=30x^5-3x^{-2}$

Diferenciando $latex f'(x)$, temos:

$latex f'(x)=30x^5-3x^{-2}$

$latex f^{\prime \prime}(x)=150x^4+6x^{-3}$

Usando as leis dos expoentes, podemos escrever da seguinte forma:

$latex f^{\prime \prime}(x)=150x^4+6x^{-3}$

$$f^{\prime \prime}(x)=150x^4+\frac{6}{x^3}$$

Podemos escrever a raiz quadrada como um expoente numérico:

$$f(x) = -3x^{-5}+\sqrt{x}$$

$$f(x)=-3x^{-5}+x^{\frac{1}{2}}$$

Agora, podemos encontrar a primeira derivada da seguinte forma:

$$f(x)=-3x^{-5}+x^{\frac{1}{2}}$$

$$f'(x)=15x^{-6}+\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$

Encontramos a segunda derivada diferenciando $latex f'(x)$:

$$f'(x)=15x^{-6}+\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$

$$f^{\prime \prime}(x)=-90x^{-7}-\frac{1}{4}x^{-\frac{3}{2}}$$

Podemos simplificar usando as leis dos expoentes e escrevendo da seguinte forma:

$$f^{\prime \prime}(x)=-90x^{-7}-\frac{1}{4}x^{-\frac{3}{2}}$$

$$f^{\prime \prime}(x)=-\frac{90}{x^7}-\frac{1}{4\sqrt{x^3}}$$

Neste caso, temos uma função trigonométrica. Podemos diferenciar lembrando que a derivada de seno é igual a cosseno e a derivada de cosseno é igual a seno negativo:

$latex f(x)=\sin(x)-\cos(x)$

$latex f'(x)=\cos(x)+\sin(x)$

Aplicamos as mesmas regras para derivar novamente:

$latex f'(x)=\cos(x)+\sin(x)$

$latex f^{\prime \prime}(x)=-\sin(x)+\cos(x)$

Podemos começar simplificando da seguinte forma:

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}+3x^{-3}+5$$

$latex f(x)=x^{-\frac{1}{2}}+3x^{-3}+5$

Agora, diferenciamos usando a regra da potência em cada termo da função:

$latex f(x)=x^{-\frac{1}{2}}+3x^{-3}+5$

$$f'(x)=-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}-9x^{-4}$$

Diferenciamos $latex f'(x)$ para obter a segunda derivada:

$$f'(x)=-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}-9x^{-4}$$

$$ f”(x)=\frac{3}{4}x^{-\frac{5}{2}}+36x^{-5}$$

Usamos as leis dos expoentes novamente para simplificar:

$$ f^{\prime \prime}(x)=\frac{3}{4}x^{-\frac{5}{2}}+36x^{-5}$$

$$ f^{\prime \prime}(x)=\frac{3}{4x^{\frac{5}{2}}}+\frac{36}{x^5}$$

$$ f^{\prime \prime}(x)=\frac{3}{4\sqrt{x^5}}+\frac{36}{x^5}$$

Usamos as leis dos expoentes para escrever assim:

$$f(x)=\frac{2}{3x^2}-\frac{4}{x^5}$$

$$ f(x)=\frac{2}{3}x^{-2}-4x^{-5}$$

Usando a regra da potência em ambos os termos da função, temos:

$$f(x)=\frac{2}{3}x^{-2}-4x^{-5}$$

$$f'(x)=-\frac{4}{3}x^{-3}+20x^{-6}$$

Diferenciando $latex f'(x)$, temos:

$$f'(x)=-\frac{4}{3}x^{-3}+20x^{-6}$$

$$f^{\prime \prime}(x)=4x^{-4}-120x^{-7}$$

Por fim, podemos escrever da seguinte forma:

$$f^{\prime \prime}(x)= \frac{4}{x^4}-\frac{120}{x^7}$$

Para resolver este exercício, temos que começar encontrando a primeira e a segunda derivada da função. Então temos:

$latex f(x)=4x^3$

$latex f'(x)=12x^2$

$latex f^{\prime \prime}(x)=24x$

Agora, podemos substituir no lado esquerdo de $latex 3f(x)f^{\prime \prime}(x)-2f'(x)^2=0$ e temos:

$latex 3f(x)f^{\prime \prime}(x)-2f'(x)^2=0$

$$3(4x^3)(24x)-2(12x^2)^2=0$$

$latex 288x^4-288x^4=0$

Vemos que o lado esquerdo é igual a 0, então provamos o que é necessário.

Semelhante ao exercício anterior, precisamos começar encontrando a primeira e a segunda derivada da função. Então temos:

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-\frac{1}{2}}$$

$$f'(x)=-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}$$

$$f^{\prime \prime}(x)=\frac{3}{4}x^{-\frac{5}{2}}$$

Agora que temos as derivadas, vamos substituir no lado esquerdo de $latex 2xf^{\prime \prime}(x)+3f'(x)=0$ e temos:

$latex 2xf^{\prime \prime}(x)+3f'(x)=0$

$$2x(\frac{3}{4}x^{-\frac{5}{2}})+3(-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}})=0$$

$$\frac{3}{2}x^{-\frac{3}{2}}-\frac{3}{2}x^{-\frac{3}{2}}=0$$

O lado esquerdo é igual a 0, então provamos que a expressão dada é verdadeira.

As derivadas da função dada são as seguintes:

$latex f(x)=x^4$

$latex f'(x)=4x^3$

$latex f^{\prime \prime}(x)=12x^2$

Agora, podemos substituir no lado esquerdo de $latex \frac{4y}{3}f^{\prime \prime}(x)-(f'(x))^2=0$ e temos:

$$\frac{4y}{3}f^{\prime \prime}(x)-(f'(x))^2=0$$

$$\frac{4(x^4)}{3}(12x^2)-(4x^3)^2=0$$

$latex 16x^6-16x^6=0$

Vemos que o lado esquerdo é igual a 0, então provamos que a expressão dada é verdadeira.