A regra da cadeia para integrais é uma regra de integração obtida a partir da regra da cadeia para derivadas. Esta regra é usada para integrar funções da forma f'(x)[f(x)]n.
A seguir, vamos aprender como encontrar integrais de funções usando a regra da cadeia para integrais. Depois, veremos alguns exemplos onde aplicaremos esta regra.
Fórmula de regra da cadeia de integrais
A fórmula para a regra da cadeia de integrais é a seguinte:
$$\int f'(x)[f(x)]^ndx=\frac{[f(x)]^{n+1}}{n+1}+c$$
Podemos entender esta fórmula considerando a função $latex f(x)=(x^2+1)^4$. Usando a regra da cadeia de derivadas, descobrimos que a sua derivada é:
$latex f'(x)=8x(x^2+1)^3$
Isto significa que podemos escrever da seguinte forma:
$$\int 8x(x^2+1)^3dx=(x^2+1)^4+c$$
Agora, podemos reconhecer que o integrando $latex 8x(x^2+1)^3$ é da forma $latex f'(x)[f(x)]^n$.
Neste exemplo temos $latex f(x)=x^2+1$, $latex f'(x)=2x$ e $latex n=3$.
Para ver outro exemplo, vamos considerar o $latex \int x(3x^2-2)^5dx$. Neste caso, observamos que a derivada de $latex (3x^2-2)$ é $latex 6x$. Além disso, temos o termo $latex x$ fora da função principal $latex (3x^2-2)^5$.
Isto significa que consideramos $latex (3x^2-2)^6$, que quando diferenciado nos dá $latex 36x(3x^2-2)^5$. Então, temos:
$$\int x(3x^2-2)^5=\frac{1}{36}(3x^2-2)^6+c$$
Exercícios resolvidos sobre a regra da cadeia das integrais
EXERCÍCIO 1
Encontre a seguinte integral:
$$\int (x-2)^2dx$$
Solução
Para encontrar $latex \int (x-2)^2dx$, podemos considerar a função $latex f(x)=(x-2)^3$, que quando derivada nos dá $latex f'(x)=3(x-2)^2$.
Isto significa que a integral de $latex (x-2)^2$ é igual a:
$$\int (x-2)^2dx=\frac{(x-2)^3}{3}+c$$
EXERCÍCIO 2
Resolva a seguinte integral:
$$\int x(3x^2+6)^4dx$$
Solução
Vemos que a derivada de $latex 3x^2+6$ é $latex 6x$ e temos o termo $latex x$ fora da função principal $latex (3x^2+6)^4$.
Isto significa que podemos considerar que a derivada de $latex (3x^2+6)^5$ é $latex 30x(3x^2+6)^4$.
Então, temos a seguinte integral:
$$\int x(3x^2+6)^4dx=\frac{(3x^2+6)^5}{30}+c$$
EXERCÍCIO 3
Encontre a seguinte integral:
$$\int 4x^2(x^3-3)^5dx$$
Solução
Para resolver esta integral, observamos que a derivada de $latex x^3-3$ é $latex 3x^2$.
Além disso, temos um termo $latex x^2$ fora da função principal $latex (x^3-3)^5$.
Então, consideramos que a derivada de $latex (x^3-3)^6$ é $latex 18x^2(x^3-3)^5$. Portanto, temos:
$$\int 4x^2(x^3-3)^5dx=\frac{4}{18}(x^3-3)^6+c$$
$$=\frac{2}{9}(x^3-3)^6+c$$
EXERCÍCIO 4
Qual é o resultado da seguinte integral?
$$\int (x+2)(x^2+4x-1)^3dx $$
Solução
Começamos por notar que a derivada de $latex x^2+4x-1$ é $latex 2x+4=2(x+2)$.
Além disso, vemos que temos o termo $latex (x+2)$ fora da função principal.
Então, considerando que a derivada de $latex (x^2+4x-1)^4$ é
$$ 4(2x+4)(x^2+4x-1)^3=8(x+2)(x^2+4x-1)^3$$
Portanto, temos:
$$ \int (x+2)(x^2+4x-1)^3dx=\frac{1}{8}(x^2+4x-1)^4+c $$$$ =\frac{x(x^2-4)}{x^2-25} $$
EXERCÍCIO 5
Encontre a seguinte integral:
$$ \int \frac{4x}{(3-x^2)^2}dx$$
Solução
Neste caso, podemos começar por escrever a expressão da seguinte forma para facilitar a sua resolução:
$$ \int \frac{4x}{(3-x^2)^2}dx=\int 4x (3-x^2)^{-2}$$
Agora, podemos observar que a derivada de $latex 3-x^2$ é $latex -2x$. Além disso, temos um termo $latex x$ fora da função principal.
Então, consideramos que a derivada de $latex (3-x^2)^{-1}$ é $latex 2x(3-x^2)^{-2}$.
Isto significa que esta integral é resolvida da seguinte forma:
$$ \int \frac{4x}{(3-x^2)^2}dx=\frac{4}{2}(3-x^2)^{-1}+c $$
$$ =\frac{2}{3-x^2}+c $$
EXERCÍCIO 6
Qual é o resultado da seguinte integral?
$$ \int \frac{x}{\sqrt{x^2+3}}dx$$
Solução
Escrevemos a expressão da seguinte forma:
$$ \int \frac{x}{\sqrt{x^2+3}}dx=\int x (x^2+3)^{-\frac{1}{2}}$$
Agora, vemos que a derivada de $latex x^2+3$ é $latex 2x$ e temos um termo $latex x$ fora da função principal.
Então, podemos resolver isso considerando que a derivada de $latex (x^2+3)^{-\frac{1}{2}}$ é:
$$2x\times \frac{1}{2} (x^2+3)^{-\frac{1}{2}}=x(x^2+3)^{-\frac{1}{2}}$$
Isto significa que esta integral é resolvida da seguinte forma:
$$ \int \frac{x}{\sqrt{x^2+3}}dx=(x^2+3)^{\frac{1}{2}}+c $$
$$ =\sqrt{x^2+3}+c $$
Regra da cadeia de integrais – Exercícios para resolver
Ao resolver a seguinte integral, o resultado pode ser expresso como uma fração. Qual é o numerador? $$\int \frac{25x^4}{(3-x^5)^2}dx$$
Escreva o numerador na caixa.
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
