O logaritmo natural de x ao quadrado, também denotado como ln(x2), é o logaritmo de x2 na base e (número de Euler). A derivada do logaritmo natural de x2 é igual a dois sobre x, 2/x. Podemos provar esta derivada usando a regra da cadeia ou derivação implícita.
Neste artigo, veremos como encontrar a derivada do logaritmo natural de x ao quadrado. Veremos demonstrações, comparações gráficas da função original e sua derivada, e alguns exemplos.
CÁLCULO
Relevante para…
Aprender a encontrar a derivada do logaritmo natural de x ao quadrado.
CÁLCULO
Relevante para…
Aprender a encontrar a derivada do logaritmo natural de x ao quadrado.
Prova da derivada do logaritmo natural de x^2
Abaixo estão listadas as provas da derivada de \(\ln{\left(x^2\right)}\). Esses testes também podem servir como os principais métodos para derivar essa função.
Prova da derivada de \(\ln{\left(x^2\right)}\) usando a fórmula da regra da cadeia
Como esta é uma função composta, a fórmula da regra da cadeia pode ser usada para provar a fórmula derivada do logaritmo natural de \(x^2\). Na função composta \(\ln{\left(x^2\right)}\), a função logarítmica natural será a função externa f(u), enquanto \(x^2\) será a função interna g(x).
Você pode revisar a fórmula da regra da cadeia consultando este artigo: Regra da cadeia. Você também pode consultar este artigo para ver a prova da derivada do logaritmo natural: Derivada do logaritmo natural (ln(x)).
Vamos ter a derivada da função
$$ F(x) = \ln{\left(x^2\right)}$$
Podemos determinar as duas funções que compõem F(x). Neste caso, existe uma função logarítmica natural e um monômio. Podemos configurar a função externa da seguinte forma:
$$ f(u) = \ln{(u)}$$
onde
$$ u = x^2$$
Definindo o monômio \(x^2\) como a função interna de f(u) denotando-o como g(x), temos
$$ f(u) = f(g(x))$$
$$ g(x) = x^2$$
$$ u = g(x)$$
Derivando a função externa f(u) usando a derivada do logaritmo natural em termos de u, temos
$$ f(u) = \ln{(u)}$$
$$ f'(u) = \frac{1}{u}$$
Derivando a função interna g(x) usando a regra da potência, uma vez que é um monômio, temos
$$ g(x) = x^2$$
$$ g'(x) = 2x$$
Multiplicando algebricamente a derivada da função externa $latex f'(u)$ pela derivada da função interna $latex g'(x)$, temos
$$ \frac{dy}{dx} = f'(u) \cdot g'(x)$$
$$ \frac{dy}{dx} = \left(\frac{1}{u} \right) \cdot (2x)$$
Substituindo u em f‘(u) e simplificando, temos
$$ \frac{dy}{dx} = \left(\frac{1}{\left(x^2\right)} \right) \cdot (2x)$$
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{x^2}$$
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{2}{x}$$
Como resultado, chegamos à fórmula derivada \(\ln{\left(x^2\right)}\).
$$ \frac{d}{dx} \ln{\left(x^2\right)} = \frac{2}{x}$$
Prova da derivada de \(\ln{\left(x^2\right)}\) usando diferenciação implícita
Nesta demonstração, você é incentivado a aprender/revisar derivadas de funções exponenciais e diferenciação implícita.
Suponha que temos a equação
$$ y = \ln{\left(x^2\right)}$$
Na forma logarítmica geral, temos
$$ \log_{e}{x^2} = y$$
E na forma exponencial, temos
$$ e^y = x^2$$
Diferenciando implicitamente a forma exponencial em termos de x, temos
$$ e^y = x^2$$
$$ \frac{d}{dx} (e^y) = \frac{d}{dx} (x^2) $$
$$ e^y \cdot \frac{dy}{dx} = 2x $$
Isolando \( \frac{dy}{dx} \), temos
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{e^y} $$
Lembramos, \( y = \ln{\left(x^2\right)} \). Substituindo isso no y da nossa derivada, temos
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{e^{\left(\ln{\left(x^2\right)}\right)}} $$
Simplificando e aplicando uma propriedade logarítmica, temos
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{x^2} $$
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{2}{x} $$
Avaliando, temos agora a derivada de \( y = \ln{\left(x^2\right)} \)
$$ y’ = \frac{2}{x} $$
Gráfico de ln(x^2) vs. sua derivada
O gráfico da função
$$ f(x) = \ln{\left(x^2\right)}$$
é
E como já sabemos, diferenciando \(f(x) = \ln{\left(x^2\right)}\), obtemos
$$ f'(x) = \frac{2}{x}$$
que é ilustrado graficamente como
Comparando seus gráficos, temos
Usando esses gráficos, vemos que a função original (f(x) = \ln{\left(x^2\right)}) tem um domínio de
\( (-\infty,0) \cup (0,\infty) \) ou \( x | x \neq 0 \)
e existe dentro da imagem de
\( (-\infty, \infty) \) ou todos os números reais
enquanto a derivada \(f'(x) = \frac{2}{x}\) tem um domínio de
\( (-\infty,0) \cup (0,\infty) \) ou \( x | x \neq 0 \)
e existe dentro da imagem de
\( (-\infty,0) \cup (0,\infty) \) ou \( y | y \neq 0 \)
Veja também
Interessado em aprender mais sobre derivadas de funções logarítmicas? Veja estas páginas:
Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
