Derivada de ln(x+1) – Fórmula, Demonstração e Gráficos

Provas da derivada do logaritmo natural de x+1

As provas da derivada de \(\ln{(x+1)}\) estão listadas abaixo. Essas provas também podem servir como os principais métodos para derivar essa função.

Prova da derivada de ln(x+1) usando a fórmula da regra da cadeia

No processo da derivada do logaritmo natural de x+1, a fórmula da regra da cadeia é utilizada para verificar a fórmula da derivada do logaritmo natural de x+1, pois é composta por essas duas funções.

A função logarítmica natural será a função externa f(u) na função composta ln(x+1), enquanto o binômio x+1 será a função interna g(x).

Você pode revisar a fórmula da regra da cadeia consultando este artigo: Regra da cadeia. Você também pode consultar este artigo para ver a prova da derivada do logaritmo natural usando limites: Derivada do logaritmo natural (ln(x)).

Temos a função

$$ F(x) = \ln{(x+1)}$$

Podemos descobrir as duas funções que compõem F(x). Há uma função logarítmica natural e um monômio neste caso. A função externa pode ser definida da seguinte forma.

$$ f(u) = \ln{(u)}$$

onde

$$ u = x+1$$

Definindo o binômio x+1 como a função interna de f(u) denotando-o como g(x), temos

$$ f(u) = f(g(x))$$

$$ g(x) = x+1$$

$$ u = g(x)$$

Derivando a função externa f(u) usando a derivada do logaritmo natural em termos de u, temos

$$ f(u) = \ln{(u)}$$

$$ f'(u) = \frac{1}{u}$$

Derivando a função interna g(x) usando a regra da potência, uma vez que é um monômio, temos

$$ g(x) = x+1$$

$$ g'(x) = 1$$

Multiplicando algebricamente a derivada da função externa $latex f'(u)$ pela derivada da função interna $latex g'(x)$, temos

$$ \frac{dy}{dx} = f'(u) \cdot g'(x)$$

$$ \frac{dy}{dx} = \left(\frac{1}{u} \right) \cdot (1)$$

Substituindo u em f‘(u), temos

$$ \frac{dy}{dx} = \left(\frac{1}{(x+1)} \right) \cdot (1)$$

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x+1}$$

Como resultado, chegamos à fórmula derivada ln(x+1).

$$ \frac{d}{dx} \ln{(x+1)} = \frac{1}{x+1}$$

Prova da derivada de ln(x+1) usando diferenciação implícita

Aprender/revisar derivadas de funções exponenciais e diferenciação implícita é recomendado para esta demonstração.

Temos a equação

$$ y = \ln{(x+1)}$$

Na forma logarítmica geral, é

$$ \log_{e}{(x+1)} = y$$

E na forma exponencial é

$$ e^y = x+1$$

Diferenciando implicitamente a forma exponencial em termos de x, temos

$$ e^y = x+1$$

$$ \frac{d}{dx} (e^y) = \frac{d}{dx} (x+1) $$

$$ e^y \cdot \frac{dy}{dx} = 1 $$

Isolando \( \frac{dy}{dx} \), temos

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y} $$

Lembre-se que \( y = \ln{(x+1)} \). Substituindo isso no y da nossa derivada, temos

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^{(\ln{(x+1)})}} $$

Simplificando e aplicando uma propriedade dos logaritmos, temos

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x+1} $$

Avaliando, temos agora a derivada de \( y = \ln{(x+1)} \).

$$ y’ = \frac{1}{x+1} $$

Gráfico de ln(x+1) vs. sua derivada

Temos a função

$$ f(x) = \ln{(x+1)}$$

e seu gráfico é

E como aprendemos anteriormente, diferenciando \(f(x) = \ln{(x+1)}\), temos

$$ f'(x) = \frac{1}{x+1}$$

que é ilustrado graficamente como

Ilustrando os dois gráficos em um, temos

Ao examinar as diferenças entre essas funções usando esses gráficos, vemos que a função original $latex f(x) = \ln(x+1)$tem um domínio de

\( (-1,\infty) \) ou \( x | x > -1 \)

e está dentro da imagem de

\( (-\infty, \infty) \) ou todos os números reais

enquanto a derivada \(f'(x) = \frac{1}{x+1}\) tem domínio de

\( (-\infty,-1) \cup (-1,\infty) \) ou \( x | x \neq -1 \)

que está dentro da imagem de

\( (-\infty,0) \cup (0,\infty) \) ou \( y | y \neq 0 \)

Veja também

Interessado em aprender mais sobre derivadas de funções logarítmicas? Veja estas páginas:

• Derivada do Logaritmo Natural (ln(x)) – Demonstração e Gráficos
• Derivada de ln(x^2) – Fórmula, Prova e Gráficos
• Derivada de x ln(x) – Fórmula, Demonstração e Gráficos