O logaritmo natural de x+1, também indicado como ln(x+1), é o logaritmo de x+1 na base e (número de Euler). A derivada do logaritmo natural de x+1 é igual a um sobre x+1, 1/(x+1). Esta derivada pode ser encontrada usando a regra da cadeia ou com diferenciação implícita.
Neste artigo veremos como obter a derivada de ln(x+1). Aprenderemos sobre provas e comparações gráficas de ln(x+1) e sua derivada.
Provas da derivada do logaritmo natural de x+1
As provas da derivada de \(\ln{(x+1)}\) estão listadas abaixo. Essas provas também podem servir como os principais métodos para derivar essa função.
Prova da derivada de ln(x+1) usando a fórmula da regra da cadeia
No processo da derivada do logaritmo natural de x+1, a fórmula da regra da cadeia é utilizada para verificar a fórmula da derivada do logaritmo natural de x+1, pois é composta por essas duas funções.
A função logarítmica natural será a função externa f(u) na função composta ln(x+1), enquanto o binômio x+1 será a função interna g(x).
Você pode revisar a fórmula da regra da cadeia consultando este artigo: Regra da cadeia. Você também pode consultar este artigo para ver a prova da derivada do logaritmo natural usando limites: Derivada do logaritmo natural (ln(x)).
Temos a função
$$ F(x) = \ln{(x+1)}$$
Podemos descobrir as duas funções que compõem F(x). Há uma função logarítmica natural e um monômio neste caso. A função externa pode ser definida da seguinte forma.
$$ f(u) = \ln{(u)}$$
onde
$$ u = x+1$$
Definindo o binômio x+1 como a função interna de f(u) denotando-o como g(x), temos
$$ f(u) = f(g(x))$$
$$ g(x) = x+1$$
$$ u = g(x)$$
Derivando a função externa f(u) usando a derivada do logaritmo natural em termos de u, temos
$$ f(u) = \ln{(u)}$$
$$ f'(u) = \frac{1}{u}$$
Derivando a função interna g(x) usando a regra da potência, uma vez que é um monômio, temos
$$ g(x) = x+1$$
$$ g'(x) = 1$$
Multiplicando algebricamente a derivada da função externa $latex f'(u)$ pela derivada da função interna $latex g'(x)$, temos
$$ \frac{dy}{dx} = f'(u) \cdot g'(x)$$
$$ \frac{dy}{dx} = \left(\frac{1}{u} \right) \cdot (1)$$
Substituindo u em f‘(u), temos
$$ \frac{dy}{dx} = \left(\frac{1}{(x+1)} \right) \cdot (1)$$
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x+1}$$
Como resultado, chegamos à fórmula derivada ln(x+1).
$$ \frac{d}{dx} \ln{(x+1)} = \frac{1}{x+1}$$
Prova da derivada de ln(x+1) usando diferenciação implícita
Aprender/revisar derivadas de funções exponenciais e diferenciação implícita é recomendado para esta demonstração.
Temos a equação
$$ y = \ln{(x+1)}$$
Na forma logarítmica geral, é
$$ \log_{e}{(x+1)} = y$$
E na forma exponencial é
$$ e^y = x+1$$
Diferenciando implicitamente a forma exponencial em termos de x, temos
$$ e^y = x+1$$
$$ \frac{d}{dx} (e^y) = \frac{d}{dx} (x+1) $$
$$ e^y \cdot \frac{dy}{dx} = 1 $$
Isolando \( \frac{dy}{dx} \), temos
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y} $$
Lembre-se que \( y = \ln{(x+1)} \). Substituindo isso no y da nossa derivada, temos
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^{(\ln{(x+1)})}} $$
Simplificando e aplicando uma propriedade dos logaritmos, temos
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x+1} $$
Avaliando, temos agora a derivada de \( y = \ln{(x+1)} \).
$$ y’ = \frac{1}{x+1} $$
Gráfico de ln(x+1) vs. sua derivada
Temos a função
$$ f(x) = \ln{(x+1)}$$
e seu gráfico é
E como aprendemos anteriormente, diferenciando \(f(x) = \ln{(x+1)}\), temos
$$ f'(x) = \frac{1}{x+1}$$
que é ilustrado graficamente como
Ilustrando os dois gráficos em um, temos
Ao examinar as diferenças entre essas funções usando esses gráficos, vemos que a função original $latex f(x) = \ln(x+1)$tem um domínio de
\( (-1,\infty) \) ou \( x | x > -1 \)
e está dentro da imagem de
\( (-\infty, \infty) \) ou todos os números reais
enquanto a derivada \(f'(x) = \frac{1}{x+1}\) tem domínio de
\( (-\infty,-1) \cup (-1,\infty) \) ou \( x | x \neq -1 \)
que está dentro da imagem de
\( (-\infty,0) \cup (0,\infty) \) ou \( y | y \neq 0 \)
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
